Задания по релятивистской кинематике

1. Теоретический материал

Понятие неизменного масштаба. Исторический характер выбора масштаба. Абсолютно твердое тело. Смысл высказываний о свойствах пространства. Геометрия и опыт. Пределы справедливости геометрии Евклида. Периодические процессы. Измерение времени. Понятие единого времени. Синхронизация часов. Преобразования Галилея и их инварианты. Формула сложения скоростей. Постоянство скорости света. Однородность и изотропность пространства, однородность времени. Линейность преобразований координат. Преобразования Лоренца. Относительность одновременности. Принцип причинности и существование предельной скорости физических взаимодействий. Сокращение движущихся масштабов и замедление хода движущихся часов. Формула сложения скоростей в теории относительности. Опыт Физо и его релятивистская интерпретация. Реальность сокращения масштабов и замедления времени. Сокращение масштабов и абсолютно твердые тела.

2. Вопросы к теоретическому материалу

1. Если все длины измеряются с помощью масштаба, принятого за единичный и неизменный, то какой смысл вкладывается в понятие неизменности этого масштаба? Можно ли проверить его неизменность экспериментально?

2. Что такое прямая линия? Как ее построить?

3. Каков смысл высказываний о свойствах пространств? Например, что означает утверждение, что пространство евклидово?

4. Каков порядок размеров ядер, атомов, молекул, небесных тел, Солнечной системы, галактик, межгалактических расстояний? В каких пределах справедлива геометрия Евклида по современным представлениям?

5.В чем состоит принципиальная разница в измерении продолжительности процесса, происходящего в одной точке пространства, и процесса, начинающегося в одной точке и заканчивающегося в другой?

6. Понятие скорости движения можно ввести только после синхронизации часов. Каким образом синхронизовать часы без использования понятия скорости?

7. Перечислите инварианты преобразований Галилея и докажите, что они являются действительно инвариантами.

8. Напишите формулу сложения скоростей Галилея в векторной форме.

9. Справедливо ли утверждение о постоянстве скорости света в системе координат, связанной с поверхностью Земли?

10.Почему утверждение о постоянстве скорости света является постулатом и всегда останется постулатом?

11.Почему постулативный характер принципа относительности сохранится и в будущем, несмотря на научный прогресс?

12. Какие свойства пространства и времени обусловливают линейность преобразования координат? Докажите эту связь.

13.При каких условиях преобразования Лоренца пренебрежимо мало отличаются от преобразований Галилея?

14.Каким образом совершается переход от прямых преобразований Лоренца к обратным с использованием принципа относительности и без него?

15.Теория относительности не доказывает принцип причинности, а исходя из справедливости принципа причинности вводит ограничение на скорость распространения взаимодействий. Как находится это ограничение?

16.Приведите пример, доказывающий реальность сокращения движущихся масштабов.

17.Откуда следует, что если два события заведомо не могут быть связаны причинно в некоторой системе координат, то они не могут быть также связаны причинно ни в какой другой системе координат?

18. Откуда следует, что если в одной системе координат не исключено, что два события могут быть связаны причинно в некоторой системе координат, то не исключена их причинная связь во всех других системах координат?

19. Дайте объяснение так называемого "парадокса близнецов".

20. Продемонстрируйте выполнимость принципа относительности при измерении длин и промежутков времени.

21. Допустим, что быстро движущаяся линейка сократилась настолько, что два импульса света, выпущенных одновременно в неподвижной системе координат в направлении, перпендикулярном траектории линейки, миновали ее один спереди и один сзади, т. е. длина линейки в результате сокращения оказалась меньше, чем расстояние между неподвижными источниками света. Как этот процесс выглядит в системе координат, связанной с линейкой, в которой расстояние между источниками света много меньше длины линейки?

22. В эксперименте по облёту земного шара с атомными часами на самолете в западном и восточном направлениях часы, движущиеся в восточном направлении, отстают от часов, оставшихся на земле, а часы, движущиеся в западном направлении, опережают часы, оставшиеся на земле. Объясните это явление. Почему в реальном эксперименте отставание и опережение не одинаковы при одной и той же скорости самолета относительно земли? Какой дополнительный фактор необходимо при этом учесть?

23. Почему результат опыта Физо, доказавшего впервые неточность преобразований Галилея, не вызвал среди современников даже удивления?

24. Укажите аргументы против баллистической гипотезы о природе света.

25. Почему при столкновении высокоэнергичных частиц с неподвижными мишенями продукты столкновения движутся преимущественно в направлении движения налетающей на неподвижную мишень частицы?

26. Объясните, почему энергетически выгодно пользоваться встречными пучками в физике высоких энергий.

27. Почему в релятивистской теории невозможно себе представить ускоренное движение абсолютно твердого тела? Как происходит ускорение реального твердого тела в релятивистской теории?

28. Объясните результат опыта Майкельсона - Морли в системе координат, в которой интерферометр Майкельсона движется.

3. Примеры решения задач

1. В движущейся со скоростью V системе координат под углом (' к оси х^/ лежит стержень длиной L. Какова длина стержня в неподвижной системе координат и угол ( между стержнем и осью х?

Решение. В движущейся системе координат имеем

В неподвижной системе по преобразованиям Лоренца

Следовательно, в этой системе отсчета имеем

то есть

Окончательно

При

находим

т. е. стержень представляется направленным вдоль оси у, его проекция на ось х в силу сокращения почти исчезает.

2. В движущейся со скоростью v системе координат материальная точка перемещается под углом (' к оси х^/ со скоростью и'. Найти скорость и этой точки и угол (, образуемый ее траекторией с осью х неподвижной системы координат. Решить эту задачу также для случая распространения светового луча, когда

Решение. Имеем в движущейся системе

По формулам сложения скоростей

Для светового сигнала справедливы те же формулы, надо лишь подставить

. Формулы сильно упрощаются, если в движущейся системе координат точка движется вдоль оси

Для светового луча

получаем

При больших относительных скоростях систем координат v"с заключаем, что как материальная точка, так и луч света движутся почти в направлении оси х. Следует обратить внимание на то, что при определении движения по формулам сложения скоростей классической теории луч света в последнем случае двигался бы примерно под углом ( = 45° к оси х.

3. Собственное время жизни (-мезона равно

мкс. Мезон рождается на высоте H = 35 км над Землей и движется по вертикали к Земле со скоростью, отличающейся от скорости света на 0,02%, т. е.

⁴. Каким представляется в системе координат, связанной с мезоном, расстояние до Земли в момент его рождения? Какое расстояние способен пролететь мезон за время его жизни в системе координат, связанней с Землей, и успеет ли он долететь до поверхности Земли?

Решение. Примем во внимание, что в данном случае

Следовательно,

в системе координат, связанной с мезоном, расстояние до Земли равно:

Мезон не достигнет поверхности и распадется на высоте 2 км над Землей.

4. Две ракеты, покоящиеся на оси х на расстоянии L друг от друга, начинают одновременно ускоряться в положительном направлении оси х по абсолютно одинаковому закону. Достигнув скорости V, они движутся равномерно. Каково расстояние между ракетами в лабораторной системе и в системе координат, связанной с ракетами? Объясните результат.

Решение. В силу одинакового закона ускорения ракеты в процессе ускорения проходят одинаковый путь в положительном направлении оси x. Следовательно, в режиме равномерного движения расстояние между ними будет таким же, как и до начала ускорения, т. е. L. Поскольку в лабораторной системе координат расстояние между ракетами равно L, в системе координат, связанной с ракетами, оно должно быть

, т. е. больше в такое число раз, чтобы после сокращения равняться L.

Увеличение расстояния между ракетами в процессе ускорения объясняется относительностью одновременности: в лабораторной системе ракеты ускоряются синхронно, а в системе координат, связанной, например, с центром масс ракет, такой одновременности нет. В этой системе ракета, находящаяся в направлении ускорения, ускоряется с некоторым опережением и благодаря этому расстояние между ракетами увеличивается.

5. Два электрона летят навстречу друг другу со скоростями v= 4/5c. Какова скорость электрона в системе координат, связанной с другим электроном?

Решение. Используем формулу сложения скоростей. Если мы будем переходить в систему координат, связанную с электроном, движущимся в положительном направлении оси х, то формула сложения скоростей выглядит следующим образом:

где учтено, что

, а величина u' является искомой скоростью. Чтобы оценить этот результат, полезно вычислить, как изменяется множитель

, который характеризует величину сокращения масштабов, замедления времени, а также и энергию частиц. Обозначив

находим

Следовательно, при больших скоростях, когда

, можно считать, что

, т. е. при переходе из системы центра масс движущихся навстречу друг другу частиц в систему координат, связанную с одной из частиц, энергия другой частицы становится весьма большой. В обычных ускорителях одна из частиц является покоящейся частицей-мишенью, на которую налетает другая частица, разогнанная до большой скорости (до больших энергий). Если покоящуюся частицу-мишень разогнать навстречу падающей на нее частице до такой же скорости, то столкновение между ними будет эквивалентно столкновению между неподвижной частицей и частицей, разогнанной до энергий, во много раз больших, чем энергия каждой частицы при встречном столкновении. Это обстоятельство используется в ускорителях на встречных пучках. Если взять два встречных пучка протонов, каждый из которых обладает энергией около 30 ГэВ, то это эквивалентно тому, что на неподвижный протон налетает другой протон с энергией около 1000 ГэВ.

6. В лабораторной системе координат два события произошли в точках х₁=0 и x₂= 5 в моменты времени t₁=0 и

с. Найти систему координат, в которой пространственное и временное расстояния между событиями минимальны. Чему они равны?

Решение. Используем инвариантность интервала. Имеем,

т. е. интервал пространственноподобный. Поэтому существует система координат, в которой события одновременны

, а пространственное расстояние между ними равно

м. Это и есть минимальное расстояние, как это видно из определения интервала. Считая, что в момент первого события начала систем координат совпадают, имеем для второго события

то есть

Можно использовать и другую формулу преобразований Лоренца:

или

7. В лабораторной системе координат два события произошли в точках

(расстояния указаны в метрах, в единица времени - секунда). Найти систему координат, в которой пространственное и временное расстояния минимальны. Чему они равны?

Решение. Имеем:

, т .е. интервал времени-подобный. Следовательно, существует система координат, в которой эти события происходят в одной .точке с минимальным интервалом между ними; этот интервал равен

Для нахождения системы координат имеем

, т.е.

. Иначе так:

. Ответ, конечно, тот же.

Контрольные вопросы к главе 7.

1. В каком случае можно сказать, что два события заведомо не связаны причинно?

2. Если два события не связаны причинно, то в какой системе координат наиболее очевидно отсутствие причинной связи между ними?

3. Если два события связаны причинно, то в какой системе координат наиболее очевидна возможность существования причинной связи между ними?

4. Пусть в лабораторной системе координат вдоль оси х движутся два тела с разными скоростями. Скоростью сближения или удаления в лабораторной системе координат можно назвать скорость изменения расстояния между телами, т. е. отношение изменения расстояния между телами, измеренного в лабораторной системе координат, к интервалу лабораторного времени, за которое это изменение произошло. В аналогичном смысле можно говорить о скорости приближения (или удаления) луча света к телу, движущемуся в лабораторной системе координат.

Является ли эта скорость приближения (или удаление) света к телу постоянной? Чему она равна?

5. Допустим, что никакого релятивистского сокращения длины нет. Вдоль линейки скользит тело длиной

. Сбоку из некоторой точки делается моментальная фотография движущегося тела, причем на фотоснимке видны одновременно и тело и линейка, так что непосредственно на снимке можно определить те деления, с которыми совпадают концы тела на фотографии.

6.Равняется ли расстояние между этими делениями длине тела? При каком условии это расстояние равно длине тела?

7. Какому критерию должны удовлетворять два события, чтобы можно было соответствующим выбором системы координат по нашему произволу изменять последовательность этих событий?

8. Если два события происходят последовательно в одной и той же точке, то можно ли найти систему координат, в которой эти события происходят в обратном порядке?

9. Чем отличаются формулы для аберрации света (вывести их) в классической и релятивистской теории? В каком случае они практически совпадают?

10. Перечислите причины, по которым при визуальном наблюдении быстро движущихся тел они не будут казаться такими сплющенными в направлении движения, как это следует из формул теории относительности.

11. Объясните, почему нельзя себе представить ускорение тела в релятивистской теории как ускорение абсолютно твердого тела, у которого все точки ускоряются синхронно.

12. Пусть к нам быстро приближается источник света, который испускает импульсы света с интервалом в 1 с в собственной системе координат. Мы будем наблюдать эти вспышки с меньшими, чем 1 с, интервалами. Классическая и релятивистская теории приводят к различным величинам этого интервала, причем классическая теория дает несколько значений в зависимости от предположений о законах распространения света.

Перечислите все физические факторы, которыми характеризуется это явление как в классических теориях, так и в релятивистской теории.

13. Пусть в лабораторной системе координат покоится тело некоторой длины L. Вдоль тела распространяется луч света. Ему требуется время

, чтобы пройти расстояние от начальной точки тела до ее конечной точки по направлению распространения луча. Пусть теперь тело движется по направлению распространения луча со скоростью и, следовательно, испытывает сокращение. Его длина равна

. Луч света по-прежнему распространяется со скоростью с.

Спрашивается, сколько времени потребуется свету, чтобы пройти расстояние от начальной точки тела до конечной точки. Дайте ответ на этот вопрос, рассмотрев весь процесс как в лабораторной системе координат, так и в системе координат, связанной с телом.

Задачи для самостоятельного решения к главе 7.

1. На какую величину сокращается диаметр Земли вследствие ее движения вокруг Солнца в системе координат, связанной с Солнцем (

км,

км/с)?

Ответ:

см.

2. Какова должна быть скорость тела, чтобы его размеры в направлении движения сократились в 2 раза?

Ответ:

3. Поезд движется со скоростью 100 км/ч. Вдоль поезда идет человек со скоростью 5 км/ч относительно поезда по направлению его движения.

Вычислить разницу скоростей человека относительно полотна железной дороги, вычисленных по формуле сложения скоростей классической физики и частной теории относительности.

Ответ: (и = 4,85-10^-14 км/с.

4. Протон, двигаясь вертикально со скоростью и=4с/5 проходит слой атмосферы толщиной 20 км.

Какова толщина проходимого протоном слоя атмосферы в системе координат, связанной с протоном?

Ответ: h' = 15 км.

5. Каково время пролета указанной в предыдущей задаче толщины атмосферы в системе координат, связанной с Землей и протоном?

Ответ: (_З = 80 мкс, (_П= 50 мкс.

6. При постройке лаборатории по исследованию (-мезонов зал, в котором исследуются (-мезоны, пришлось отнести от места, в котором они рождаются, на расстоянии 75м. Мезоны каких минимальных скоростей могут исследоваться в этой лаборатории (собственное время жизни (-мезона равно 25 нс)?

Ответ:

с.

7. Два прожектора испускают узкие пучки света в противоположных направлениях. С какой скоростью эти прожекторы должны двигаться в направлении, перпендикулярном лучам, чтобы пучки света двигались под углом 90° друг к другу?

Ответ: