AllPhysics.ru

     В предыдущем параграфе было установлено, что момент импульса системы изменяется только под действием суммарного момента всех внешних сил; именно этот вектор определяет поведение вектора . Теперь рассмотрим некоторые наиболее существенные свойства этих величин и те важные выводы, которые из них вытекают.

     Вычислим суммарный момент внешних сил. Как и момент каждой силы, суммарный момент сил зависит, вообще говоря, от выбора точки, относительно которой его определяют. Пусть - суммарный момент сил относительно точки O, а - относительно точки O', радиус-вектор которой (рис. 6.13). Найдем .связь между и .

Рис. 6.13. Определение момента сил относительно разных точек

     Радиус-векторы точки приложения силы связаны соотношением (рис. 6.13). Поэтому выражение для можно записать в таком виде:

     

     или

     

     где - результирующая всех внешних сил.

     Из формулы (6.18) видно, что если то суммарный момент внешних сил не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Таков, в частности, случай, когда к системе приложена пара сил.

     Интересной и важной особенностью в этом отношении обладает С-система - это система отсчета, жестко связанная с центром масс системы частиц и перемещающаяся поступательно по отношению к инерциальным системам. Так как в общем случае С-система является неинерциальной, то результирующая всех внешних сил должна включать в себя кроме внешних сил взаимодействия и силы инерции . С другой стороны, в С-системе система частиц как целое покоится, а это значит, что Имея в виду (6.18), получаем следующий важный вывод: в С-системе суммарный момент всех внешних сил, включая силы инерции, не зависит от выбора точки О.

     И другой важный вывод: в С-системе суммарный момент сил инерции относительно центра инерции всегда равен нулю.

     В самом деле, сила инерции, действующая на каждую частицу системы, - ускорение С-системы. Поэтому суммарный момент всех этих сил относительно центра инерции С

     

     Исходя из определения радиус-вектора центра масс , а так как в нашем случае то и .

     Введем понятие собственного момента импульса системы частиц. Как и момент сил, момент импульса системы зависит, вообще говоря, от выбора точки О, относительно которой его определяют. При переносе этой точки на расстояние новые радиус-векторы частиц определяются через старые формулой . Поэтому момент импульса системы относительно точки O можно представить так:

     

     или

     

     где - момент импульса системы относительно точки О', а - полный импульс системы.

     Из формулы (6.20) следует, что если полный импульс системы то ее момент импульса не зависит от выбора точки O. А этим как раз и отличается С-система, в которой система частиц как целое покоится. Отсюда можно сделать третий важный вывод: в С-системе момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Этот момент будем называть собственным моментом импульса системы и обозначать .

     Установим связь между . Пусть - момент импульса системы частиц относительно точки O К-системы отсчета. Так как собственный момент импульса в C-системе не зависит от выбора точки О', возьмем точку совпадающей в данный момент с точкой О К-системы. Тогда радиус-векторы каждой частицы в обеих системах отсчета будут одинаковы в этот момент (), скорости же частиц связаны формулой

     

     где - скорость C-системы относительно К-системы. Поэтому можно записать:

     

     Первая сумма в правой части этого равенства - собственный момент импульса. Вторую сумму представим как или, где масса всей системы, - радиус-вектор ее центра масс в К-системе, - суммарный импульс системы. В результате получим

     

     т. е. момент импульса системы частиц складывается из ее собственного момента импульса и момента , обусловленного движением системы частиц как целого.

     Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по наклонной плоскости. Его момент импульса относительно некоторой точки этой плоскости складывается из момента импульса, связанного с движением центра масс шара, и собственного момента импульса, обусловленного вращением шара вокруг собственной оси.

     Из формулы (6.23) в частности, следует, что если центр инерции системы покоится (импульс системы ), то ее момент импульса - это собственный момент импульса. Такой случай уже рассматривался выше. В другом крайнем случае, когда , момент импульса системы относительно некоторой точки определяется только моментом, связанным с движением системы как целого, т. е. вторым слагаемым (6.23). Так, например, ведет себя момент импульса любого твердого тела, совершающего поступательное движение.

     Рассмотрим уравнение моментов в С-системе. Ранее было отмечено, что уравнение (6.12) справедливо в любой системе отсчета. Значит, оно справедливо и в С-системе. Поэтому сразу можно записать:

     

     где - суммарный момент внешних сил в С-системе.

     Так как С-система в общем случае неинерциальная, то в входит помимо моментов внешних сил взаимодействия и момент сил инерции. С другой стороны, в начале этого параграфа было показано, что момент сил в С-системе не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Обычно в качестве такой точки берут точку С - центр масс системы. Целесообразность выбора именно этой точки в том, что относительно ее суммарный момент сил инерции равен нулю, поэтому следует учитывать только суммарный момент внешних сил взаимодействия . Итак,

     

     т. е. производная по времени от собственного момента импульса системы равна суммарному моменту всех внешних сил взаимодействия относительно центра инерции данной системы.

     В частности, если , то т. е. собственный момент импульса системы сохраняется.

     В проекциях на ось z, проходящую через центр инерции системы, уравнение (6.24)имеет вид

     

     где -суммарный момент внешних сил взаимодействия относительно неподвижной в С-системе оси z, проходящей через центр масс. И здесь если то .