AllPhysics.ruРелятивистское сложение скоростей
Скорость точки в системе I имеет составляющие (проекции на декартовы оси) 
а в системе II они 
. Это трехмерные векторы. В соответствии с преобразованиями Лоренца (7.6) составляем отношения:
а в системе II они . Это трехмерные векторы. В соответствии с преобразованиями Лоренца (7.6) составляем отношения:
и окончательно получаем
 |
(7.7a) |
 |
(7.7b) |
 |
(7.7c) |
По этим формулам вычисляется скорость в системе II, если она известна в системе I. Аналогично находим обратные зависимости
 |
(7.8a) |
 |
(7.8b) |
 |
(7.8c) |
Частицы, двигающиеся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, для которых необходимо использовать формулы (7.8), обычно называют, для краткости, релятивистскими частицами.
Пример 1 . Относительно системы II свет распространяется в направлении оси х' со скоростью с. Подставляя значения 
в формулы (7.8), находим 
. Следовательно, скорость света относительно системы I равна тому же значению с, что согласуется со вторым постулатом Эйнштейна.
в формулы (7.8), находим . Следовательно, скорость света относительно системы I равна тому же значению с, что согласуется со вторым постулатом Эйнштейна. Пример 2 . Идея опыта Физо состояла в измерении скорости распространения света в движущейся воде путем анализа интерференционной картины при распространении света по течению воды и против него. По классической механике, искомая скорость равна 
, где п = 1,333 - показатель преломления воды, V - ее скорость. Однако измерения дали другое значение 
. СТО объясняет этот результат простым сложением скоростей 
и V:
, где п = 1,333 - показатель преломления воды, V - ее скорость. Однако измерения дали другое значение . СТО объясняет этот результат простым сложением скоростей и V:
(для случая распространения света по течению воды), что и соответствует измерениям.
Пример 3 . Два стержня собственной длины L0, параллельные оси абсцисс, движутся в некоторой ИСО I с одинаковыми скоростями, равными v, в противоположных направлениях. Найти длину одного стержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем.
Решение. Скорость одного из стержней в ИСО ,связанной с другим стержнем, равна
поэтому длина
Пример 4 . Родившись на высоте
км, мезон движется к Земле со скоростью 
и распадается у поверхности Земли.
км, мезон движется к Земле со скоростью и распадается у поверхности Земли. Найти: 1) собственное время жизни мезона, 2) путь мезона согласно классической механике.
Решение. 1) В системе отсчета "Земля" время движения мезона равно 
мкс. Собственное время жизни мезона 
мкс.
мкс. Собственное время жизни мезона мкс. 2) В соответствии с представлениями классической механике, время жизни мезона в движении такое же как в покое (равно 
), и поэтому до распада его путь должен быть 
, что не соответствует действительности. Значит, по классической механике мезон не должен долететь до Земли, тогда как в действительности он долетает.
), и поэтому до распада его путь должен быть , что не соответствует действительности. Значит, по классической механике мезон не должен долететь до Земли, тогда как в действительности он долетает. Пример 5 . Две частицы движутся в ИСО I навстречу друг другу параллельно оси х. Найти: 1) скорость второй частицы относительно первой, 2) скорость сближения частиц в системе I, 3) скорость сближения частиц в системе П.
 |
|
Рис. 7.3.
Встречное движение релятивистских частиц |
Решение. 1) С первой частицей свяжем ситему отсчета Ш, как на рисунке. Полагая в формуле сложения скоростей
, находим скорость второй частицы относительно первой:
, находим скорость второй частицы относительно первой:
Знак минус означает, что вторая частица в системе Ш движется влево; поскольку скорости 
и 
меньше с, то и 
.
и меньше с, то и . 2) За время dt первая точка в системе I смещается вправо на 
, а вторая влево на 
. Расстояние между точками сокращается на 
. Скорость сближения системе I равна 
. Такой же результат и по ньютоновой механике: в одной отдельно взятой ИСО свойства пространства в СТО такие же, как и в ньютоновой механике.
, а вторая влево на . Расстояние между точками сокращается на . Скорость сближения системе I равна . Такой же результат и по ньютоновой механике: в одной отдельно взятой ИСО свойства пространства в СТО такие же, как и в ньютоновой механике. 3) Чтобы найти скорость сближения частиц в системе П, нужно сначала определить скорости частиц в этой системе П.
Полагая в (7.7)
, а затем 
, находим скорости первой и второй частиц в системе II
, а затем , находим скорости первой и второй частиц в системе II
Скорость сближения частиц в системе П равна сумме
Скорость сближения - понятие геометрическое; каждая из скоростей частиц меньше с, а поэтому скорость сближения частиц < 2с. В частности, скорость сближения двух световых фронтов равна 2c.
Пример 6 . Два источника света движутся навстречу в ИСО I со скоростями v1 и v2. Найти скорость приближения излучения второго источника к первому источнику в системе I.
Решение. Искомая скорость - это геометрическая скорость сближения. Поэтому она равна сумме скоростей 
.Заметим, в системе отсчета, связанной с первым источником, скорость излучения второго источника равна с, что согласуется со вторым постулатом Эйнштейна.
.Заметим, в системе отсчета, связанной с первым источником, скорость излучения второго источника равна с, что согласуется со вторым постулатом Эйнштейна. Примечание 1. В ньютоновой механике сложение скоростей в данной системе отсчета производится по правилу параллелограмма. В СТО это правило также имеет место, если пользоваться только одной отдельно взятой инерциальной системой, а не переходить из одной ИСО в другую, движущуюся.
Примечание 2. При рассмотрении конкретных вопросов полезным бывает следующее представление. В каждой точке пространства имеется двое часов: одни принадлежат системе отсчета I (часы неизменно связаны с системой I), другие " системе II. Движущееся по траектории тело (точка) непрерывно "проходит" по упомянутому множеству часов. Их показания 
и 
(каждый раз в месте нахождения движущегося тела) и есть время, входящее в функции координат 
и также 
. При этом, разумеется, все часы системы I идут синхронно с базовыми часами в начале О этой системы I, а часы системы II - синхронно с базовыми в начале O' системы П, движущейся относительно I со скоростью V вместе со всеми своими часами.
и (каждый раз в месте нахождения движущегося тела) и есть время, входящее в функции координат и также . При этом, разумеется, все часы системы I идут синхронно с базовыми часами в начале О этой системы I, а часы системы II - синхронно с базовыми в начале O' системы П, движущейся относительно I со скоростью V вместе со всеми своими часами.