AllPhysics.ru

     Для записи количественных соотношений (законов), связывающих различные физические величины, необходимо кроме их определения указать способ измерения и единицы измерения. Способ измерения - это указание экспериментальных действий, которые необходимо выполнить, чтобы сравнить значение величины с единицей измерения и получить численное значение величины, например координаты частицы x.

     В связи с построением систем единиц возникает понятие размерности. В принципе можно было бы (так и поступали раньше) для каждой физической величины установить свою единицу, никак не связанную с единицами других величин. Но тогда в уравнения, выражающие физические законы, вошло бы множество числовых коэффициентов. Их значения не укладывались бы ни в какую простую и легко запоминаемую схему, а определялись бы случайным выбором единиц. Такое множество числовых коэффициентов весьма сильно усложняло бы формулы. Во избежание этого в физике уже давно отказались от независимого выбора единиц для всех физических величин, а стали применять системы единиц, построенные по определенному принципу.

     Принцип этот заключается в следующем. Некоторые физические величины условно принимаются за основные или первичные, т. е. такие, для которых единицы устанавливаются произвольно и независимо. Так, например, в механике применяется система LMT, в которой за основные величины принимаются длина (L), масса (М) и время (Т). Выбор основных величин и их число произвольны. Это - вопрос соглашения. Например в технической механике до недавнего времени применялась система LFТ Основными величинами в ней были длина (L), сила (F) и время (Т). В Международной системе единиц (сокращенно СИ) за основные приняты семь величин: длина, масса, время, температура, сила электрического тока, сила света и количество вещества. Укажем основные механические единицы СИ- секунду, метр и килограмм.

     Секунда - это промежуток времени, в течение которого совершается 9192631770 колебаний электромагнитного излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 в отсутствие внешних полей.

     Роль маятника или балансира, регулирующих ход часов, выполняют в кварцевых часах колебания кристаллической решетки кварца, в молекулярных часах - колебания атомов в молекулах, в атомных часах - колебания электромагнитного поля в узких спектральных линиях атомов некоторых изотопов химических элементов, находящихся в точно определенных и строго контролируемых внешних условиях. Особой стабильностью обладают последние из отмеченных колебаний. Поэтому период именно таких колебаний в настоящее время и принимается в качестве основной единицы времени, с помощью которой воспроизводится секунда. С помощью кварцевых, молекулярных и атомных часов было показано, что Земля вокруг своей оси вращается "неравномерно".

     Метр есть длина пути, проходимая светом в вакууме в течение временного интервала 1/299792458 секунды" Отсюда следует, что скорость света по определению принимается равной 299 792 458 м/с (точно).

     С единицей длины дело обстоит так же, как с единицей времени. Идеально твердых тел не существует. Первоначальный эталон метра, реализованный в виде стержня из сплава платины и иридия, недостаточно надежен. Он подвержен внешним влияниям, его свойства могут измениться с течением времени - старение материала. Предпочтительнее в качестве основной единицы взять какую-либо естественную, точно воспроизводимую длину. В качестве такой длины до недавнего времени принималась длина световой волны определенной узкой спектральной линии, получаемой при определенных, строго контролируемых внешних условиях. С помощью такой естественной длины и воспроизводилась практическая единица длины - метр. В октябре 1983 г. Генеральная ассамблея мер и весов приняла новое определение метр. Такое изменение эталона метра вызвано тем, что экспериментальная погрешность определения скорости света в вакууме в настоящее время составляет примерно 0,3 м/с, что превышает относительную погрешность воспроизведения метра по предыдущему определению, которая равна примерно ±4 l0^-9. Относительная точность измерения расстояний будет непрерывно повышаться со временем, по крайней мере до достижения величины 10^-12, требующейся для астрономических измерений. Чтобы каждый раз не менять определение метра, поступили более естественным способом - зафиксировали значение скорости света.

     Возможно, что современные эталоны времени и длины перестанут удовлетворять более жестким требованиям, которые будут предъявляться в будущем к точности измерений и воспроизводимости результатов. В таком случае старые эталоны будут заменены новыми, более стабильными. Принципиально это ничего не меняет.

     В качестве эталона массы по-прежнему используется цилиндр из платиново-иридиевого сплава, хранящийся в Севре (Франция).

     Величины, не являющиеся основными, называются производными или вторичными. Для них единицы устанавливаются из требования, чтобы числовые коэффициенты, входящие в физические законы или формулы, служащие определением рассматриваемых величин, принимали определенные, заранее выбранные значения. Например, скорость равномерно движущейся материальной точки есть величина особого рода, пропорциональная пройденному пути s и обратно пропорциональная времени t, затрачиваемому на прохождение этого пути. При независимом выборе единиц для s, t и v следует писать где С - коэффициент, значение которого определяется выбором единиц. Если фиксировать значение этого коэффициента, то единицы для s, t и v перестанут быть независимыми. Для простоты полагают и пишут Если за основные величины принять путь s и время t, то единица скорости становится величиной производной - за нее необходимо принять скорость такого равномерного движения, когда за единицу времени проходится единица длины. Говорят, что скорость имеет размерность длины, деленной на время. Символически это записывается так: Аналогично, пока единицы выбираются независимо, для ускорения а можно написать Полагая , выбирают ускорение а величиной производной, имеющей размерность скорости, деленной на время, или размерность длины, деленной на квадрат времени. После этого за единицу ускорения необходимо принять ускорение такого равномерно ускоренного движения, когда за каждую единицу времени скорость возрастает на единицу. Если единицы физических величин еще не зафиксированы выбором системы единиц, то (в произвольных единицах) второй закон Ньютона пишется в виде . Фиксируя числовой коэффициент , выбирают силу величиной производной и устанавливаем для нее единицу. Например, при С₀ = 1 получаем . После этого сила получает размерность массы, умноженной на ускорение . Формула обязывает нас за единицу силы принять такую силу, которая массе в одну единицу сообщает ускорение, равное единице.

     Уточним теперь понятие размерности физических величин. Размерность физической величины еще не определяет ее единицу. Она устанавливает только связь между единицами различных физических величин. Размерность дает правило, позволяющее определить, как меняется единица производной физической величины при изменении масштабов основных величин. Это правило, выраженное в виде математической формулы, называется формулой размерности. Допустим, например, что за единицу длины принят километр, а за единицу времени - минута. Единицей ускорения в такой системе будет км/мин². Спрашивается, как изменится единица ускорения, если за единицу длины принять сантиметр, а за единицу времени - секунду. Формула размерности позволяет быстро ответить на этот вопрос: прежде всего переведем 1 км = 10⁵ см, 1 мин = 60 с и далее получаем 1 км/мин² = 1000/36 см/с². Отсюда видно, что единица ускорения 1 км/мин² больше единицы 1 см/с² в 1000/36 раз. В соответствии с этим числовое значение ускорения, измеренное в км/мин², окажется меньше числового значения того же ускорения в 1000/36 раз, если его измерить в см/с².

     Термин "система единиц" употребляется в двух смыслах. В широком смысле система единиц характеризуется выбором основных величин и формулами, определяющими остальные величины через основные, причем масштабы основных величин не фиксируются. Примером может служить система LMT, в которой основными величинами являются длина, масса и время. Другим примером является применявшаяся ранее электротехническая система LMTI, в которой за основные величины принимаются длина, масса, время и сила электрического тока I. Система единиц в узком смысле дополнительно характеризуется также определенным выбором масштабов основных единиц. Примерами могут служить системы СГС и СИ. Первая есть частный случай системы LMT, когда за единицы длины, массы и времени приняты сантиметр, грамм и секунда. Вторая является частным случаем электротехнической системы LMTI. В ней единицами длины, массы, времени и силы тока являются соответственно метр, килограмм, секунда и ампер. В теории размерности термин "система единиц" понимается в широком смысле.

     Понятие размерности возникает в связи с требованием, чтобы в одной и той же системе единиц количественные соотношения между различными физическими величинами выражались одними и теми же формулами, независимо от того, каковы единицы основных физических величин. Этим требованием определяется общий вид "формул размерности " физических величин. Допустим, что имеется несколько физических величин, связанных между собой. Для простоты можно ограничиться случаем двух величин, одна из которых принимается за основную, а другая - за производную. Числовые значения их x и y связаны уравнением . Определим общий вид функции . Если единицу основной величины x уменьшить в ( раз, то числовое значение этой величины увеличивается в такое число раз и сделается равным . При этом единица производной величины у уменьшится, а ее числовое значение увеличится в ( раз и станет равным . Потребуем, чтобы числовые значения Х и Y были связаны тем же уравнением, что и числа х и y, т.е. или . Нужно найти ( как функцию аргумемнта (. Ответ дается так называемой "формулой размерности".

     

     Формула степенного вида обеспечивает требование независимости функциональной связи между x и y от выбора масштаба единицы основной физической величины x. Если величина зависит от нескольких основных фи- зических величин, то легко получить обобщенное соотношение, которое выражает любую физическую величину через основные единицы длины L, массы M и времени T

     

     где p, q, r - постоянные числа.

      Разные физические величины могут иметь одинаковые размерности даже в одной системе единиц, например СИ. Примерами могут служить работа и кинетическая энергия или работа и момент сил. Эта схожесть говорит не о тождестве величин, а только о том, что в СИ масштабы этих величин меняются одинаково при изменении масштабов основных величин.

     Безразмерными комбинациями физических величин называются такие, котороые в рассматриваемой системе единиц имеют нулевую размерность. Их численные значения не меняются при изменении масштабов единиц основных величин. Приведем пример такой величины. Если величина имеет размерность (объем и длина ), то будет безразмерной комбинацией, составленной из и .

     Использование теории размерностей базируется на 2 утверждениях (теоремах):

      1) формула (1.4), устанавливающая общий вид размерности физических величин;

     2) любое количественное соотношение между разными физическими величинами можно представить в виде функциональной связи между безразмерными комбинациями этих величин .

     Сама по себе теория размерности без использования добавочных данных не позволяет получить какие-либо конкретные физические выводы, так как не содержит в себе никаких физических законов. Однако в ряде случаев с ее помощью можно получить весьма полезные оценки параметров разных систем и качественные формулы, связывающие физические величины в разнообразных прикладных задачах.

     Метод размерности весьма эффективен в сложных вопросах механики, например в гидродинамике, где полная теоретическая трактовка затруднительна. С привлечением добавочных соображений или опытных данных он приводит, и притом быстро и просто, к важным результатам, дающим предварительное, хотя и неполное, представление о рассматриваемом круге явлений. Поэтому необходимо познакомиться с этим методом.

     В некоторых случаях важную информацию можно получить, не решая уравнений движения, из одного их вида, используя так называемые соображения подобия и размерности. Их сущность состоит в таком подборе изменения масштабов (времени, длины, массы и т. д.), при котором уравнения движения сохраняют свой вид. Пусть r (t) удовлетворяет уравнению

     

     Сделаем замену масштабов времени и массы . Тогда удовлетворяет уравнению Иными словами: если уменьшить массу точки в четыре раза, то она сможет пройти тот же путь в том же силовом поле вдвое быстрее. Здесь предполагается, что U от т не зависит. В поле тяготения потенциальная энергия U пропорциональна , и поэтому период обращения небесного тела вокруг Солнца не зависит от массы движущейся точки т.

Рис. 1.2. Изображение животного для задачи 1.4