AllPhysics.ru

     Как известно из ньютоновой механики, у замкнутой системы, кроме энергии и импульса, сохраняется еще и момент импульса, т. е. вектор

     

     ( и - радиус-вектор и импульс частицы; суммирование производится по всем частицам, входящим в состав системы). Сохранение момента является следствием того, что все свойства замкнутой системы в силу изотропии пространства не меняется при повороте системы как целого.

     Проделав теперь аналогичный вывод в четырехмерном виде, мы получим релятивистское выражение для момента. Пусть - координаты одной из частиц системы. Произведем бесконечно малый поворот в четырехмерном пространстве. Это есть преобразование, при котором координаты принимают новые значения так что разности являются линейными функциями:

     

     с бесконечно малыми коэффициентами . Компоненты 4-тензора связаны при этом соотношениями, возникающими в результате требования, чтобы при повороте оставалась неизменной длина 4-радиус-вектора, т. е. чтобы было . Подставляя сюда из (8.25) и отбрасывая члены, квадратичные no , как бесконечно малые высшего порядка, находим:

     

     Это равенство должно выполняться при произвольных . Поскольку xⁱx^k-симметричный тензор, должны составлять антисимметричный тензор, так как произведение симметричного тензора на антисимметричный, очевидно, тождественно равно нулю:

     

     Изменение действия при бесконечно малом изменении координат имеет вид

     

     (суммирование производится по всем частицам системы). В случае рассматриваемого нами сейчас поворота , а потому

     

     Если разбить тензор на симметричную и антисимметричную части, то первая из них при умножении на антисимметричный тензор тождественно дает нуль. Поэтому, выделяя из антисимметричную часть, мы можем написать предыдущее равенство в виде

     

     Для замкнутой системы, в силу изотропии пространства и времени, при повороте в 4-пространстве функция Лагранжа не меняется, т. е. параметры этого поворота являются циклическими координатами. Поэтому соответствующие обобщенные импульсы сохраняются. Этими импульсами являются величины . Из (8.27) имеем:

     

     Cледовательно доказано, что у замкнутой системы сохраняется тензор

     

     Этот антисимметричный тензор носит название 4-тензора момента.

     Пространственные компоненты тензора момента совпадают с компонентами трехмерного вектора момента :

     

     Компоненты же составляют вектор . Таким образом, можно записать компоненты тензора в виде

     

     В силу сохранения для замкнутой системы имеем, в частности:

     

     Поскольку, с другой стороны, полная энергия (E тоже сохраняется, то это равенство можно написать в виде

     

     Отсюда мы видим, что точка с радиус-вектором

     

     равномерно движется со скоростью

     

     которая есть не что иное, как скорость движения системы как целого (скорость определяется по полным энергии и импульсу системы).

     Формула (8.30) дает релятивистское определение координат центра инерции системы. Если скорости всех частиц малы по сравнению с с, то можно приближенно положить и (8.30) переходит в обычное классическое выражение

     

     В то время как классическая формула для центра инерции относится к системам как невзаимодействующих, так и взаимодействующих частиц, формула (8.30) справедлива лишь при пренебрежении взаимодействием. В релятивистской механике определение центра инерции системы взаимодействующих частиц требует учета в явном виде также импульса и энергии создаваемого ими поля.

     Обратим внимание на то, что компоненты вектора (8.30) не составляют пространственных компонент какого-либо 4-вектора и потому при преобразовании системы отсчета не преобразуются как координаты какой-либо точки. Поэтому центр инерции одной и той же системы частиц по отношению к различным системам отсчета - это различные точки. Напомним, что хотя в системе Ко (в которой ) момент импульса не зависит от выбора точки, по отрешению к которой он определяется, но в системе (в которой ) момент зависит от этого выбора.