AllPhysics.ru

§ 1. Свет

§ 2. Отражение и преломление

§ 3. Принцип наименьшего времени Ферма

§ 4. Применения принципа Ферма

§ 5. Более точная формулировка принципа Ферма

§ 6, Квантовый механизм

§ 1. Свет

Эта глава — первая из посвященных элек­тромагнитному излучению. Свет, с помощью которого мы видим, составляет только неболь­шую часть широкого спектра явлений одной природы, причем разные части спектра характе­ризуются разными значениями определенной физической величины. Эту величину называют «длиной волны». По мере того, как она пробегает значения в пределах спектра видимого света, цвет световых лучей меняется от красного до фиолетового. Систематическое изучение спектра от длинных волн к коротким лучше всего начать с так называемых радиоволн. В технике радио­волны получают в широком диапазоне длин волн и даже более длинные, чем те, которые исполь­зуются в обычном радиовещании. В радиове­щании применяются волны длиной около 500 м, за ними идут так называемые короткие волны, далее радиолокационный диапазон, миллиметровый диапазон и т. д. На самом деле между разными диапазонами нет никаких границ, природа их не создала. Числа, кото­рые соответствуют разным диапазонам, и, конечно, сами названия диапазонов весьма условны.

Далее, пройдя долгий путь через милли­метровый диапазон, мы придем к инфракрасным волнам, а оттуда к спектру видимого света. Спустившись за его границы, мы попадем в ультрафиолетовую область. За ультрафиоле­товой областью начинаются рентгеновские лучи, но границу между ними точно определить мы не можем, она где-то около 10^-8 м, или 10^-2 мкм. Это область мягких рентгеновских лучей, за нею идет обычное рентгеновское излучение, затем жесткое излучение, потом g-излучение и так ко все меньшим значениям величины, которую мы назвали дли­ной волны.

В пределах обширного диапазона длин волн имеется не ме­нее трех областей, где возможны весьма интересные приближе­ния. Существует, например, область, где длина волны мала по сравнению с размерами приборов, с помощью которых изучают такие волны; более того, энергия фотонов, если говорить на языке квантовой механики, меньше порога чувствительности приборов. В этой области первое грубое приближение дает ме­тод, называемый геометрической оптикой. С другой стороны, когда длина волны становится порядка размеров прибора (та­кие условия проще создать для радиоволн, чем для видимого света), а энергия фотонов по-прежнему ничтожна, применяется другое очень полезное приближение, в котором учтены волновые свойства света, но снова пренебрегается эффектами квантовой механики. Это приближение основано на классической теории электромагнитного излучения; оно будет обсуждаться в одной из последующих глав. Наконец, для еще более коротких длин волн, когда энергия фотонов велика по сравнению с чувстви­тельностью приборов и от волнового характера излучения мож­но отвлечься, снова возникает простая картина. Такую фотон­ную картину мы рассмотрим только в общих чертах. Полную теорию, описывающую все на основе единой модели, вы узнаете гораздо позже.

В этой главе мы ограничимся той областью, для которой эф­фективна геометрическая оптика и, как будет видно в дальней­шем, длина волны и фотонный характер света роли не играют. Мы даже не зададим вопроса, а что такое свет, и только опишем его поведение в масштабе длин и времен, много больших, чем некоторые характерные величины. Из сказанного ясно, что речь пойдет об очень грубом приближении, потом нам придется «оту­чаться» от изложенных здесь методов. Но отучимся мы легко, потому что почти сразу перейдем к более точному анализу.

Геометрическая оптика, хотя и является приближением, представляет огромный интерес с технической и исторической точек зрения. На истории этого вопроса мы намеренно остано­вимся подробнее, чтобы дать представление о развитии физиче­ской теории или физической идеи вообще.

Начнем с того, что свет знаком каждому и известен с неза­памятных времен. Возникает первая проблема: каков механизм видения света? Теорий было много, но в конце концов, они све­лись к одной: существует нечто, попадающее в глаз при отра­жении от предметов. Эта идея существует уже давно и столь привычна, что теперь даже трудно себе представить другие идеи, предложенные, однако, весьма умными людьми, напри­мер, что нечто выходит из глаза и чувствует окружающие предметы. Были и другие важные наблюдения: свет распространяет­ся из одной точки в другую по прямой линии, если ничто ему не препятствует и лучи света не взаимодействуют друг с другом. Иными словами, свет распространяется в комнате во всевозмож­ных направлениях, но тот луч, который перпендикулярен на­правлению нашего взгляда, не воздействует на лучи, идущие к нам от какого-либо предмета. В свое время это был сильнейший аргумент против корпускулярной теории света и его использо­вал Гюйгенс. Но если представить себе свет в виде пучка летя­щих стрел, то как могли бы тогда другие стрелы легко про­низывать его? На самом деле ценность таких схоластических доказательств весьма сомнительна. Всегда можно сказать, что свет состоит именно из таких стрел, которые свободно проходят друг через друга!

§ 2. Отражение и преломление

Все сказанное дает представление об основной идее геомет­рической оптики. Теперь перейдем к ее количественному описа­нию. До сих пор мы разбирали случай, когда свет распростра­няется между двумя точками по прямой линии. Посмотрим те­перь, что происходит, когда свет на своем пути наталкивается на какой-то объект (фиг. 26.1). Простейший объект — это зер­кало, и в этом случае мы знаем такой закон: свет, попадая на зеркало, не проходит через него, а отражается и снова ухо­дит по прямой линии, причем направление прямой меняется при изменении наклона зеркала. Еще в древности люди были заняты вопросом: каково соотношение между этими двумя углами? Это очень простое соотношение, и найдено оно было дав­ным-давно. Падающий на зеркало луч после отражения движет­ся по такому пути, что углы между каждым лучом и зеркалом равны. По ряду соображений углы удобно отсчитывать от нор­мали к поверхности зеркала. Тогда так называемый закон от­ражения гласит:

q_i=q_r. (26.1)

В отличие от простого закона отражения более сложный закон возникает при переходе света из одной среды в другую, например из воздуха в воду; здесь тоже свет движется не по прямой. Траектория луча в воде образует некоторый угол с траекторией в воздухе.

Фиг. 26.2

Когда луч падает почти вертикально, угол от­клонения q_i- невелик; если же луч направить под большим углом, отклонение становится значи­тельным (фиг. 26.2). Возникает вопрос: каково соотношение между двумя углами? В древности эта проблема долго ставила людей в тупик, но ответ тогда так и не был найден! Тем не менее именно по этому вопросу можно найти очень редкую в древне­греческой физике сводку экспериментальных данных!

Клавдий Птолемей составил таблицу углов отклонения света в воде для целого ряда углов падения из воздуха. В табл. 26.1 приведены углы в воздухе в градусах и соответствую­щие углы для воды. (Принято считать, что древние греки никог­да не ставили опытов. Но, не зная закона, такую таблицу можно составить только на основании эксперимента. Надо отметить, однако, что данные таблицы слишком хорошо ложатся на параболу, поэтому они не могли быть результатом независимых из­мерений; это лишь ряд чисел, интерполированных по немногим измеренным точкам.)

Таблица 26.1 • ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА ПО ПТОЛЕМЕЮ

Угол в воздухе, град Угол в воде, град

10 8,5

20 15,5

30 22,5

40 28

50 35

60 40,5

70 45

80 50

Это был очень важный шаг в становлении физического зако­на: сначала мы наблюдаем эффект, затем проводим измерения и сводим результаты в таблицу, после чего пытаемся найти закон, по которому одни величины сопоставляются с другими. Приве­денная таблица была составлена еще в 140 г. до нашей эры, и вплоть до 1621 г. никто не смог найти такого закона, который связал бы эти два угла!

Фиг. 26.3. При переходе из од­ной среда в другую луч света пре­ломляется.

Закон был установлен голландским мате­матиком Виллебрордом Снеллом и читается так: пусть q_i;. есть угол в воздухе и q_r,. есть угол в воде, тогда синус

q_i, равен синусу q_r, умноженному на некоторую константу

sin q_i = пsinq_r. (26.2)

Для воды число n равно примерно 1,33. Равенство (26.2) называется законом Снелла; он позволяет предсказать отклоне­ние света при переходе из воздуха в воду. В табл. 26.2 указаны углы в воде и воздухе, полученные с помощью закона Снелла. Обратите внимание на удивительное согласие с таблицей Пто­лемея.

Таблица 26.2 • ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА ПО ЗАКОНУ СНЕЛЛА

Угол в воздухе, град Угол в воде, град

10 7,5

20 15

30 22

40 29

50 35

60 40

70 48

80 49,5

§ 3. Принцип наименьшего времени Ферма

По мере развития науки нам хочется получить нечто боль­шее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с помощью измерений получаем числа и, наконец, на­ходим закон, связывающий эти числа. Но истинное величие науки состоит в том, что мы можем найти такой способ рассуж­дения, при котором закон становится очевидным,

Впервые общий принцип, наглядно объясняющий закон по­ведения света, был предложен Ферма примерно в 1650 г. и по­лучил название принципа наименьшего времени, или принципа Ферма. Вот его идея: свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, который требует наименьшего времени для его прохождения.

Покажем сначала, что это верно для случая с зеркалом, что этот простой принцип объясняет и прямолинейность распро­странения света, и закон отражения света от зеркала. Мы явно делаем успехи!

Попытаемся решить следующую задачу. На фиг. 26.3 изображены две точки А и В и плоское зеркало ММ'. Каким путем можно за кратчайшее время попасть из точки А в точку В? Ответ: по прямой, проведенной из А в В!

Фиг. 26.3. Иллюстрация прин­ципа наименьшего времени.

Но если мы добавим дополнительное условие, что свет должен попасть на зеркало, отразиться от него и вернуться снова в точку В опять-таки за кратчайшее время, то ответить не так уж просто. Один путь — как можно скорее добраться до зеркала, а оттуда в точку B, т. е. по пути ADB. Путь DB, конечно, дли­нен. Если сдвинуться чуть-чуть вправо в точку Е, то первый отрезок пути немного увеличится, но зато сильно уменьшится второй, и время прохождения, поэтому станет меньше. Как найти точку C, для которой время прохождения наименьшее? Воспользуемся для этого хитрым геометрическим приемом.

По другую сторону зеркала ММ', на таком же расстоянии от него, что и точка B, построим искусственную точку B'. Затем проведем линию ЕВ'. Поскольку угол BFM прямой и BF—FB', то ЕВ равно ЕВ'. Следовательно, сумма длин двух отрезков АЕ+ЕВ, пропорциональная времени их прохождения (если свет проходит с постоянной скоростью), равна сумме длин АЕ+ЕВ'. Теперь нужно выяснить, когда сумма длин будет наименьшей. Ответ: когда точка С будет лежать на прямой, соединяющей А и В'! Другими словами, нужно идти к мнимой точке В' (мнимому изображению точки В) и тогда мы найдем точку С. Далее, если АСВ'— прямая линия, угол BCF равен углу B'CF и, следовательно, углу АСМ. Таким образом, ут­верждение о равенстве углов падения и отражения равносильно утверждению, что свет при отражении от зеркала в точку В выбирает путь, требующий наименьшего времени. Еще Герон Александрийский высказал утверждение, что свет при отраже­нии идет из одной точки в другую по кратчайшему пути, так что идея принципа, как видите, не нова. Именно это вдохновило Ферма, и он попробовал применить этот принцип к явлению преломления. Но свет, преломляясь, очевидным образом идет не по кратчайшему пути, и тогда Ферма предложил другой прин­цип — свет выбирает путь, время прохождения по которому наименьшее.

Прежде чем перейти к вопросу о преломлении света, сделаем еще одно замечание об отражении от зеркала. Если поместить источник света в точку В и направить луч на зеркало, свет, от­ражаясь от зеркала, пройдет из В в А так, как будто бы источник находится в В', а зеркала нет вообще. Наш глаз видит толь­ко тот свет, который действительно входит в него; и хотя источ­ник расположен в точке В, зеркало направляет свет в глаз точно так, как будто источник находится в В', и система глаза — мозг интерпретирует именно так это явление. Поэтому иллюзия, что источник или предмет находится за зеркалом, вызывается только тем фактом, что свет попадает в глаз физически именно так, как если бы предмет действительно был позади зеркала (если не при­нимать во внимание пыль на зеркале и то, что нам известно, что зеркало реально существует, и другие сведения, которые учитывает наш мозг).

Покажем теперь, что из принципа наименьшего времени вытекает закон Снелла для преломления. Мы должны, ко­нечно, что-то предположить относительно скорости света в воде. Будем считать, что скорость света в воде меньше скорости света в воздухе, и отношение второй скорости к первой обозначим через n.

Наша задача по-прежнему состоит в том, чтобы на фиг. 26.4 попасть из точки А в В за наименьшее время. Чтобы убедиться, что путь по прямой здесь не самый быстрый, представим себе следующую ситуацию: хорошенькая девушка падает из лодки в воду в точке В и кричит, просит спасти. Линия X — это берег. Вы находитесь на суше в точке А и видите, что произошло, вы умеете плавать и умеете бегать. Но бегаете вы быстрее, чем пла­ваете. Что вам делать? Бежать по прямой к берегу? (Конечно!) Но, немного поразмыслив, вы поймете, что выгоднее пробежать несколько дольше по берегу, чтобы уменьшить ваш путь в воде, потому что в воде вы будете двигаться гораздо медленнее. (Рас­суждая таким образом, лучше всего было бы заранее тщательно вычислить путь!) Во всяком случае, давайте попытаемся пока­зать, что окончательное решение задачи — это путь АСВ, который занимает из всех возможных наименьшее время. Если этот путь кратчайший по времени, то любой другой ока­жется длиннее. Поэтому если отложить на графике зависимость времени от положения точки X, получится кривая, похожая на изображенную на фиг. 26.5, где точка С соответствует наи­меньшему времени.

Фиг. 26.4. Иллюстрация прин­ципа Ферма для случая преломле­ния.

Фиг. 26.5 Наименьшее время по­лучается при выборе точки С.

Соседние точки приводят примерно к такому же времени прохождения.

Это означает, что для точек X вблизи С в пер­вом приближении время прохождения практически одинаковое, так как в точке С наклон кривой равен нулю. Итак, наш способ найти искомый путь сводится к требованию, чтобы при неболь­шом изменении положения точки время прохождения не меня­лось. (Конечно, возникнут бесконечно малые изменения времени второго порядка, и они должны быть положительными при сме­щении в обе стороны от точки С.) Возьмем близкую точку X, вычислим время прохождения на пути АХВ и сравним его со старым путем АСЕ. Сделать это очень просто. Конечно, нужно еще, чтобы разность времен стремилась к нулю для малых рас­стояний ХС. Обратимся сначала к пути по суше. Если мы опус­тим перпендикуляр ЕХ, то легко увидим, что наш путь стал ко­роче на длину ЕС. Можно сказать, что это расстояние мы выигра­ли. С другой стороны, опустив перпендикуляр CF, мы увидим, что в воде приходится проплыть дополнительное расстояние XF. В этом мы проиграли. С точки зрения экономии времени выигры­вается время на отрезке ЕС, но теряется на отрезке XF. Эти два интервала времени должны быть равны, так как в первом приб­лижении полное время прохождения не меняется. Предположив, что скорость в воде равна скорости в воздухе, умноженной на 1/n получим

ЕС=nXF_. (26.3)

Поэтому мы видим, что если нам удалось правильно выбрать точку С (XCsinEXC =nXCsinXCF) или мы сократили на длину общей гипотенузы ХС и заметили, что

EXC=ECN=q_i и XCF=BCN'=q_r,

то мы получим

sinq_i=nsinq_r. (26.4)

Отсюда видно, что при отношении скоростей, равном n, свет должен двигаться из одной точки в другую по такому пути, что­бы отношение синусов q_it- и q_r было равно отношению скоростей в двух средах.

§ 4. Применения принципа Ферма

Рассмотрим теперь некоторые интересные следствия прин­ципа наименьшего времени. Первое из них — принцип обрати­мости. Мы уже нашли путь из A в В, требующий наименьшего времени; пойдем теперь в обратном направлении (считая, что скорость света не зависит от направления). Наименьшему времени отвечает та же траектория, и, следовательно, если свет распространяется по некоторому пути в одном направлении, он будет двигаться по этому пути и в обратном направлении.

Другой интересный пример! На пути света под некоторым уг­лом поставлена четырехгранная стеклянная призма с параллель­ными гранями. Свет проходит из точки А в В и, встретив на сво­ем пути призму (фиг. 26.6), отклоняется, причем длительность пути в призме уменьшается за счет изменения наклона траекто­рии, а путь в воздухе немного удлиняется. Участки траектории вне призмы оказываются параллельными друг другу, потому что углы входа и выхода из призмы одинаковы.

Третье интересное явление состоит в том, что когда мы смот­рим на заходящее солнце, то оно на самом деле находится уже ниже линии горизонта! Нам кажется, что солнце еще над гори­зонтом, а оно фактически уже зашло (фиг. 26.7). Дело здесь в следующем. Земная атмосфера вверху разрежена, а в нижних слоях более плотная. Свет распространяется в воздухе медлен­нее, чем в вакууме, и поэтому солнечные лучи достигнут какой-то точки за горизонтом быстрее, если будут двигаться не по прямой линии, а по траектории с более крутым наклоном в плотных слоях атмосферы, сокращая таким образом свой путь в этих слоях.

Еще пример того же рода — мираж, который часто на­блюдают путешественники на раскаленных солнцем дорогах. Они видят на дороге «воду», а когда подъезжают туда, то кру­гом оказывается все сухо, как в пустыне! Сущность явления в следующем. То, что мы видим в этом случае, это «отраженный» дорогой свет. На фиг. 26.8 показано, как падающий на дорогу луч света попадает к нам в глаз. Почему? Воздух сильно раска­лен над самой дорогой, а в верхних слоях холоднее. Горячий воздух, расширяясь, становится более разреженным, а потому и скорость света в нем больше, чем в холодном.

Фиг. 26.6. Луч света, выходя­щий из прозрачной пластины, параллелен падающему лучу.

Фиг. 26.7. У горизонта Солнце кажется на ¹/₂ градуса выше, чем на самом деле.

Другими словами, свет быстрее проходит в теплых слоях, чем в холодных. Поэтому свет проходит не по прямой, а идет по траектории с наименьшим временем, заворачивая для этого в теплые слои воздуха, чтобы сократить время. Таким образом, свет идет по кривой.

И еще один пример. Представим себе такую ситуацию, когда весь свет, испускаемый в точке Р, собирается обратно в другую точку Р' (фиг. 26.9). Это означает, конечно, что свет может попасть из точки Р в Р' по прямой линии. Это правильно. Но как устроить так, чтобы свет, идущий от Р к Q, тоже попал в Р'? Мы хотим собрать весь свет снова в одной точке, которую называют фокусом. Как это сделать? Поскольку свет всегда выбирает путь с наименьшим временем, то наверняка он не пойдет по другим предложенным нами путям. Единственный способ сделать целый ряд близлежащих траекторий приемлемы­ми для света — это устроить так, чтобы для всех время прохож­дения было точно одинаковым! В противном случае свет пойдет по траектории, требующей минимального времени. Поэтому задача построения фокусирующей системы сводится просто к созданию устройства, в котором свет тратит на всех путях оди­наковое время!

Такое устройство создать просто. Возьмем кусок стекла, в котором свет движется медленнее, чем в воздухе (фиг. 26.10). Проследим путь луча света, проходящего в воздухе по линии PQP'. Этот путь длиннее, чем прямо из Р в Р', и наверняка за­нимает больше времени. Но если взять кусок стекла нужной тол­щины (позже мы вычислим, какой именно), то путь в нем ском­пенсирует добавочное время, затрачиваемое при отклонении луча на траектории PQP'. При этих условиях можно устроить так, чтобы время, затрачиваемое светом на пути по прямой, совпадало со временем, затрачиваемым на пути PQP'. Точно так же, если взять частично отклоненный луч PRR'P' (более короткий, чем PQP'), то придется скомпенсировать уже не так много времени, как для прямолинейной траектории, но некото­рую долю времени все же скомпенсировать придется.

Фиг. 26.8. Мираж.

Фиг, 26.9. Оптический «черный ящик».

В резуль­тате мы приходим к форме куска стекла, изображенной на фиг. 26.10. При такой форме весь свет из точки Р попадет в Р'. Всё это нам известно уже давно, и называется такое устройство собирательной линзой. В следующей главе мы вычислим, какой должна быть форма линзы, чтобы получить идеальную фокуси­ровку.

Наконец, последний пример. Предположим, что нам нужно так поставить зеркало, чтобы свет из точки Р всегда приходил в Р' (фиг. 26.11). На любом пути свет должен отразиться от зер­кала, и время для всех путей должно быть одинаковым. В данном случае свет проходит только в воздухе, так что время прохож­дения пропорционально длине пути. Поэтому требование равен­ства времен сводится к требованию равенства полных длин пу­тей. Следовательно, сумма расстояний r1 и r₂ должна оставаться постоянной. Эллипс обладает как раз тем свойством, что сумма расстояний любой точки на его кривой от двух заданных точек постоянна; поэтому свет, отразившись от зеркала, имеющего такую форму, наверняка попадет из одного фокуса в другой.

Этот принцип фокусировки служит для наблюдения света звезд. При постройке большого 200-дюймового телескопа в об­серватории Паломар использовалась следующая идея. Вообразите себе звезду, удаленную от нас на миллиарды километров; мы хотим собрать весь испускаемый ею свет в фокус. Конечно, мы не можем начертить всю траекторию лучей до звезды, тем не менее мы должны проверить, насколько времена на различ­ных траекториях равны. Мы, конечно, знаем, что если множест­во различных лучей достигло плоскости КК', перпендикулярной направлению лучей, то времена для всех этих лучей будут равны (фиг. 26.12). Далее лучи должны отразиться от зеркала и за равные промежутки времени попасть в фокус Р'.

Фиг. 26 10. Фокусирующая опти­ческая система.

Фиг. 26.11. Эллиптическое зеркало.

Это означает, что мы должны найти такую кривую, для которой сумма рас­стояний ХХ'--Х'Р' будет постоянна, независимо от выбора точки X. Легче всего это сделать, продолжив отрезок XX' до плоскости LL'. Потребуем теперь, чтобы выполнялись соот­ношения А'А"=А'Р',В'В"=В'Р', С'С"=С'Р' и т. д.; в этом случае мы получаем нужную нам кривую, потому что сумма длин А 'А+А 'Р' =АА'+А 'А'' будет постоянной для всех точек кривой. Значит, наша кривая есть геометрическое место всех точек, равноудаленных от линии и некоторой заданной точки. Такая кривая называется параболой; вот зеркало телескопа и было изготовлено именно в форме параболы.

Приведенные примеры в общих чертах иллюстрируют прин­цип устройства оптических систем. Точные кривые можно рас­считать, используя правило равенства времен на всех путях, ведущих в точку фокуса, и требуя, чтобы время прохождения на всех соседних путях было большим.

В следующей главе мы еще вернемся к фокусирующим опти­ческим системам, а теперь обсудим дальнейшее развитие теории. Когда предлагается новый физический принцип, такой, как принцип наименьшего времени, то нашей первой естественной реакцией могли бы быть слова: «Все это очень хорошо, восхити­тельно, но вопрос заключается в том, улучшает ли это вообще наше понимание физики?». На это можно ответить: «Да. Посмот­рите сколько новых фактов мы теперь поняли!» А кто-то возра­зит: «Ну, в зеркалах я и так разбираюсь. Мне нужна такая кри­вая, чтобы каждая касательная к ней плоскость образовывала равные углы с двумя лучами света. Я могу рассчитать и линзу, потому что каждый падающий на нее луч отклоняется на угол, даваемый законом Снелла». Здесь очевидным образом содержа­ние принципа наименьшего действия совпадает с законом равен­ства углов при отражении и пропорциональности синусов углов при преломлении. Тогда, может быть, это философский вопрос, а может быть, вопрос просто в том, какой путь красивее? Можно привести аргументы в пользу обеих точек зрения.

Однако критерий важности всякого принципа состоит в том, что он предсказывает нечто новое.

Легко показать, что принцип Ферма предсказывает ряд но­вых фактов. Прежде всего предположим, что имеются три среды — стекло, вода и воздух и мы наблюдаем явление прелом­ления и измеряем показатель n для перехода из одной среды в другую.

Фиг. 26.12. Параболическое зеркало.

Обозначим через n₁₂ показатель преломления для пе­рехода из воздуха (1) в воду (2), а через n₁₃— для перехода из воздуха (1) в стекло (3). Измерив преломление в системе вода— стекло, найдем еще один показатель преломления и назовем его п₂₃ .Здесь заранее нет оснований считать, что n₁₂ , n₁₃ и n₂₃ связаны между собой. Если же исходить из принципа наимень­шего времени, то такую связь можно установить. Показатель n₁₂ есть отношение двух величин—скорости света в воздухе к скорости света в воде; показатель n₁₃ есть отношение скорости в воздухе к скорости в стекле, а n₂₃ есть отношение скорости в воде к скорости в стекле. Поэтому, сокращая скорость света в воздухе, получаем

(26.5)

Другими словами, мы предсказываем, что показатель преломле­ния для перехода из одного материала в другой можно получить из показателей преломления каждого материала по отношению к некоторой среде, скажем воздуху или вакууму. Таким обра­зом, измерив скорость света во всех средах, мы образуем одно число для каждой среды — показатель преломления для пере­хода из вакуума в среду — и называем его n_i (например, n_i для воздуха есть отношение скорости в воздухе к скорости в вакууме и т. д.), после чего легко написать нужную формулу. Показатель преломления для любых двух материалов i и j равен

(26.6)

Используя только закон Снелла, подобное соотношение пред­сказать невозможно. Но связь эта существует. Соотношение (26.5) известно давно и послужило сильным аргументом в поль­зу принципа наименьшего времени.

Еще одно предсказание принципа наименьшего времени со­стоит в том, что скорость света в воде при измерении должна оказаться меньше скорости света в воздухе. Это уже предсказа­ние совсем другого рода. Оно гораздо глубже, потому что носит теоретический характер и никак не связано с наблюдениями, из которых Ферма вывел принцип наименьшего времени (до сих пор мы имели дело только с углами). Как оказалось, скорость света в воде действительно меньше скорости в воздухе, и ровно настолько, чтобы получился правильный показатель преломле­ния.

§ 5, Более точная формулировка принципа Ферма

До сих пор мы фактически пользовались неправильной фор­мулировкой принципа наименьшего времени. Здесь мы сформу­лируем его более точно. Мы неправильно называли его принци­пом наименьшего времени и для удобства по ходу дела применя­ли неправильную его трактовку. Но теперь мы выясним точное содержание принципа. Пусть имеется зеркало. Мы его показали на

фиг. 26.3. Откуда свет знает, что он должен двигаться к зер­калу? Очевидно, путь, требующий наименьшего времени,— это линия АВ, Кое-кто поэтому может сказать: «Иногда этот путь требует как раз наибольшего времени». Так это неправильно! Путь по кривой наверняка займет еще больше времени! Точная формулировка принципа следующая: луч, проходящий по тра­ектории, обладает тем свойством, что любое малое изменение пути (скажем, на 1%), расположения точки падения луча на зеркало, или формы кривой, или какие-либо иные изменения, не приводит в первом порядке к изменению времени прохождения; изменение времени происходит только во втором порядке. Другими словами, согласно этому принципу, свет вы­бирает один путь из множества близлежащих, требующих почти одинакового времени для прохождения.

С принципом наименьшего времени связана еще одна труд­ность, которую многие, не любящие такого рода теории, никак не могут переварить. Теория Снелла помогает легко «понять» поведение света. Свет проходит, видит перед собой поверхность и отклоняется, потому что на поверхности с ним что-то происхо­дит. Легко понять идею причинности, проявляющуюся в том, что свет идет из одной точки в другую, а затем в следующую. Но принцип наименьшего времени есть философский принцип, ко­торый совсем иначе объясняет причину явлений в природе. Вместо причинной обусловленности, когда из одного нашего действия вытекает другое и т. д., этот принцип говорит следую­щее: в данной ситуации свет выбирает путь с наименьшим, или экстремальным временем. Но как удается свету выбирать свой

Фиг. 26.13, Прохождение радио­волн сквозь узкую щель.

путь? Вынюхивает он что ли соседние пути и сравнивает их потом друг с другом? В некотором смысле так и происходит. Эту способность света нельзя понять в рамках геометрической оптики, поскольку она связана с понятием длины волны; длина волны, грубо говоря, есть тот отрезок впереди лежащего пути, который свет может «почувствовать» и сравнить с соседними путями. Этот факт трудно продемонстрировать на опыте со светом, так как длина волны света чрезвычайно мала. Но радио­волны с длиной волны, скажем, 3 см, «видят» намного даль­ше. Предположим, имеется источник радиоволн, детектор и экран со щелью, как показано на фиг. 26.13; при этих усло­виях лучи будут проходить из S в D, поскольку это прямо­линейная траектория, и даже если сузить щель, лучи все равно пройдут. Но если теперь отодвинуть детектор в точку D', то при широкой щели волны не пойдут из S в D', потому что они сравнят близлежащие пути и скажут: «Нет, друг мой, все эти пути требуют другого времени». С другой стороны, если оставить только узенькую щелку и таким образом по­мешать волнам выбирать путь, то окажутся годными уже несколько путей и волны пойдут по ним! Если щель узкая, в точку D' попадет больше излучения, чем через широкую щель! Такой же опыт возможен со светом, но в большом масштабе его проделать трудно. Этот эффект, однако, можно наблюдать в следующих простых условиях. Найдите маленький и яркий ис­точник света, например уличный фонарь, где-нибудь в конце ули­цы или отражение солнца от колеса автомобиля. Поставьте перед глазами два пальца, оставив для света узенькую щель, и посте­пенно сближайте пальцы, пока щель полностью не исчезнет. Вы увидите, что свет, который вначале казался крохотной точкой, начнет расплываться и даже вытянется в длинную линию. Про­исходит это потому, что между пальцами оставлена лишь очень маленькая щель и свет не идет, как обычно, по прямой, а рас­ходится под некоторым углом и в глаз попадает с разных направ­лений. Если вы будете достаточно внимательны, то заметите еще боковые максимумы и своеобразную кайму по краям.

Кроме того, само изображение будет окрашено. Все это будет в свое время объяснено, а сейчас этот опыт (а его очень легко проделать) просто демонстрирует, что свет не всегда распро­страняется по прямой.

§ 6. Квантовый механизм

В заключение дадим очень грубую картину того, что проис­ходит на самом деле, как протекает весь процесс распростра­нения света с квантовомеханической точки зрения, которую сейчас считают самой правильной (разумеется, наше описание будет носить лишь качественный характер). Исследуя свет на пути из А в В (см. фиг. 26.3), можно обнаружить, что он вовсе не представляет собой волны. Лучи света, оказывается, состоят из фотонов, которые можно реально зарегистрировать с помо­щью фотонного счетчика; они заставляют его щелкать. Яркость света пропорциональна среднему числу фотонов, пролетающему в 1 сек, а нас интересует вероятность попадания фотона из А в В при отражении от зеркала. Правило вычисления этой вероят­ности весьма необычно. Выберем какой-нибудь путь и найдем время на этом пути; затем образуем комплексное число или нари­суем маленький комплексный вектор rе^iq, где угол q пропорционален времени. Число оборотов вектора в секунду — это частота света. Возьмем теперь другой путь, и пусть он занимает другое время; тогда соответствующий ему вектор повернется на угол, отличный от первого (вспомним, что угол всегда пропорциона­лен времени). Переберем все возможные пути и сложим векторы для каждого из них, тогда квадрат длины суммарного вектора определит вероятность прохождения фотона из начальной точки в конечную!

Покажем теперь, что отсюда следует принцип наименьшего времени для зеркала. Возьмем все возможные пути ADB, АЕВ, АСВ и т. д., изображенные на фиг. 26.3. Путь ADB вносит не­большой вклад, а соседний путь АЕВ занимает уже другое вре­мя, и его угол q поэтому другой. Пусть точка С соответствует пути с наименьшим временем, тогда при небольшом изменении пути время не меняется. Точнее, сначала время заметно менялось, но с приближением к точке С оно меняется все меньше и меньше (фиг. 26.14). Таким образом, векторы, которые мы скла­дываем, проходят вблизи С почти под одним и тем же углом, а затем времена начинают постепенно расти, векторы поворачива­ются и т. д. В результате получается тугой клубок векторов. Пол­ная вероятность есть расстояние от одного конца до другого, возведенное в квадрат. Почти весь вклад в эту суммарную вероятность вносит область, где векторы идут в одном направ­лении (с одной и той же фазой). Вклады от путей с разными временами взаимно сокращаются, потому что векторы направ­лены в разные стороны. Вот почему, если закрыть края зеркала, оно будет отражать почти точно так же, как и раньше, по­скольку в приведенной выше процедуре это соответствует от­брасыванию части векторов внутри спиральных концов диа­граммы, а для света это мало что изменит. Таково соответствие между современной теорией фотонов с ее понятием вероятности прохождения, зависящей от суммирования векторов, и принци­пом наименьшего времени.

*Его можно вывести, если дополнительно предположить, что при добавлении слоя одной среды к поверхности другой угол преломления на выходе из последней среды не меняется.