§1. Статика

§2.Закон Кулона; наложение сил

§З. Электрический потенциал

§4. E=-Ñj

§5.Поток поля Е

§6.Закон Гаусса; дивергенция поля Е

§7 .Поле заряженного шара

§8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности

Повторишь: гл.13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»

§ 1. Статика

Начнем теперь подробное изучение теории электромагнетизма. Она вся (весь электромаг­нетизм целиком) запрятана в уравнениях Мак­свелла:

Явления, описываемые этими уравнениями, могут быть очень сложными. Но прежде чем перейти к более сложным, мы начнем со сравни­тельно простых и сначала научимся обращаться с ними. Самым легким для изучения является случай, который называют статическим. Это случай, когда от времени ничего не зависит, когда все заряды либо намертво закреплены на своих местах, либо если уж движутся, то их ток постоянен (т. е. r и j постоянны во времени). В этих условиях в уравнениях Максвелла все члены, являющиеся производными по времени, обращаются в нуль, и уравнения приобретают следующий вид:

Магнитостатика

Обратите внимание на интересное свойство этой системы четырех уравнений. Она распалась на две части. Электрическое поле Е появляется только в первой паре уравнений, а магнит­ное поле В — только во второй. Между собой эти два поля совсем не связаны. Это означает, что коль скоро заряды и токи постоян­ны, то электричество и магнетизм — явления разные. Нельзя обнаружить никакой зависимости полей Е и В друг от друга, пока не возникают изменения в зарядах или токах, скажем, пока конденсатор не начнет заряжаться или магнит двигаться. Только когда возникают сравнительно быстрые изменения, так что временные производные в уравнениях Максвелла достигают заметной величины, Е и В начинают влиять друг на друга.

Если вы всмотритесь в уравнения статики, то обнаружите, что для изучения математических свойств векторных полей эти два предмета — электростатика и магнитостатика — являются идеальным объектом. Электростатика — это чистый пример век­торного поля с нулевым ротором и заданной дивергенцией, а магнитостатика — чистейший пример поля с нулевой диверген­цией и заданным ротором. Более общепринятый (и, быть может, с чьей-то точки зрения более удовлетворительный) путь изло­жения теории электромагнетизма состоит в том, чтобы начать с электростатики и выучить тем самым все про дивергенцию. Магнитостатику и ротор оставляют на потом. И лишь в кон­це объединяют и электричество, и магнетизм. Мы же с вами начали с полной теории векторного исчисления. Применим те­перь ее к частному случаю электростатики, к полю Е, задавае­мому первой парой уравнений.

Начнем с самых простых задач, в которых положения всех зарядов фиксированы. Если бы нам нужно было изучить элект­ростатику только на этом уровне (а этим мы и будем заниматься в ближайших двух главах), то жизнь наша была бы очень проста. Все было бы почти тривиальным и нам понадобился бы, как вы в этом сейчас убедитесь, только закон Кулона да несколько интегрирований. Однако во многих реальных электростатиче­ских задачах мы вначале не знаем, где находятся заряды. Мы знаем только, что они в зависимости от свойств вещества распре­делились как-то и где-то. Положение, которое примут заряды, зависит от поля Е, а оно в свою очередь зависит от расположе­ния зарядов. И тогда все сразу усложняется. Если, например, заряженное тело поднесено к проводнику или к изолятору, то электроны и протоны в проводнике или изоляторе начнут пере­текать на новое место. Одна часть плотности заряда r в уравнении (4.5) будет нам известна — это тот заряд, который мы подносим; но в r войдут и другие части от тех зарядов, которые перетекают. Мы обязаны будем учесть движение всех зарядов. Возникнут довольно тонкие и интересные задачи.

Однако настоящая глава, хоть она и посвящена электро­статике, не будет касаться самых красивых и тонких вопросов этой науки. В ней будут рассмотрены лишь такие ситуации, в которых можно предположить, что расположение всех зарядов известно. Но и в этом случае, прежде чем научиться справляться со сложными случаями, естественно сначала освоиться с про­стыми.

§ 2. Закон Кулона; наложение сил

Логично было бы принять за отправную точку уравнения (4.5) и (4.6). Но легче начать с другого, а потом вернуться к этим уравнениям. Результат получится одинаковый. Мы начнем с закона, о котором говорилось раньше,— с закона Кулона, утверждающего, что между двумя покоящимися зарядами дей­ствует сила, прямо пропорциональная произведению зарядов и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Сила направлена по прямой от одного заряда к другому.

Закон Кулона

(4.9)

здесь F₁ — сила, действующая на заряд q₁; е₁₂ — единичный вектор, направленный от q₂ к q₁ , а г₁₂— расстояние между q₁ и q₂. Сила F₂, действующая на q₂, равна и противоположна силе F₁. Множитель пропорциональности по историческим причи­нам пишется в виде ¹/₄яе₀. В системе единиц СИ, которой мы пользуемся, он определяется как 10^-7 от квадрата скорости света. Так как скорость света примерно 3•10⁸ м/сек, то множи­тель приблизительно равен 9•10⁹, и единица оказывается рав­ной ньютон•м²/кулон², или вольт •м/кулон

(4.10)

Если зарядов больше двух (а именно такие случаи наи­более интересны), то закон Кулона нужно дополнить другим существующим в природе фактом: сила, действующая на заряд, есть векторная сумма кулоновских сил, действующих со сто­роны всех прочих зарядов. Этот экспериментальный факт на­зывается «принципом наложения», или «принципом суперпозиции». Это и есть все, что имеется в электростатике. Если доба­вить к закону Кулона принцип наложения, то больше ничего в ней не останется. Точно к таким же выводам, ни больше, ни меньше, приведут уравнения электростатики, уравнения (4.5) и (4.6).

Применяя закон Кулона, удобно ввести понятие об электри­ческом поле. Мы говорим, что поле Е(1) — это сила, действую­щая со стороны прочих зарядов на единицу заряда q₁ . Деля (4.9) на q₁ ,мы получаем для действия всех зарядов, кроме q₁,

(4.11)

Кроме того, мы считаем, что Е(1) описывает нечто, существую­щее в точке (1), даже если в ней нет заряда q₁ (в предположении, что все прочие заряды сохранили свои позиции). Мы говорим: Е(1) — это электрическое поле в точке (1).

Электрическое поле Е — это вектор, так что в (4.11) на са­мом деле написаны три уравнения, по одному для каждой ком­поненты. Расписывая x-компоненту в явном виде, получаем

(4.12)

и точно так же для остальных компонент.

Если зарядов много, то поле Е в любой точке (1) равно сумме вкладов от всех зарядов. Каждый член в сумме будет выглядеть как (4.11) или (4.12). Пусть q_j — величина j-го заряда, а г_1j — смещение q_j от точки (1); тогда мы напишем

(4.13)

Фиг. 4.1. В точке (1) электрическое поле Е от некоторо­го распределения зарядов полу­чается из интеграла по рас­пределению.

Точка (I) может находится также внутри распределения.

что означает, конечно,

и т. д.

Часто бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды всегда существуют в виде отдельных кусочков, таких, как элект­роны или протоны, а считать, что они размазаны сплошным пятном, или, как говорят, описываются «распределением». До тех пор пока нам все равно, что происходит в малых масшта­бах, такое описание вполне законно. Распределение заряда описывается «плотностью заряда» r (х, у, z). Если количество заряда в небольшом объеме DV₂ близ точки (2) есть Dq₂, то r определяется равенством

(4.15)

Пользуясь теперь законом Кулона при непрерывном рас­пределении заряда, мы заменяем в уравнениях (4.13) или (4.14) суммы интегралами по всему объему, содержащему заряды. Получается

(4.16)

Некоторые предпочитают писать

где r₁₂ — вектор смещения от (2) к (1) (фиг. 4.1). Интеграл для Е тогда запишется в виде

(4.17)

Если мы хотим действительно провести интегрирование до конца, то обычно приходится интегралы расписывать подробнее. Для x-компоненты уравнений (4.16) или (4.17) получается

Мы не собираемся вычислять что-либо по этой формуле. Написали мы ее здесь только для того, чтобы подчеркнуть, что мы полностью решили те электростатические задачи, в которых известно расположение всех зарядов.

Дано: Заряды.

Определить: Поля.

Решение: Возьми этот интеграл.

Так что по существу все сделано; остается только проделать сложные интегрирования по трем переменным. Эта работа в са­мый раз для счетной машины!

Пользуясь этими интегралами, мы можем найти поле за­ряженной плоскости, заряженной линии, заряженной сферы и любого выбранного распределения. Хотя мы сейчас начнем чер­тить силовые линии, говорить о потенциалах и вычислять ди­вергенции, важно понимать, что ответ на все решаемые задачи в принципе уже готов. Просто порой бывает легче взять интег­рал, придумав фокус, чем проделывать все выкладки чест­но. Но чтобы догадываться, нужно научиться разным ухищ­рениям. Быть может, лучше было бы вычислять интегралы не­посредственно, а не тратить силы на остроумные способы реше­ния да демонстрировать свою сообразительность. Но все-таки мы пойдем по пути развития сообразительности. Переходим, таким образом, к обсуждению некоторых других особенностей электрического поля.

§ 3. Электрический потенциал

Для начала усвоим понятие электрического потенциала, связанное с работой переноса заряда из одной точки в другую. Пусть имеется какое-то распределение зарядов. Оно создает электрическое поле. Спрашивается, какую работу надо затра­тить, чтобы перенести небольшой заряд из одной точки в другую? Работа, произведенная против действия электрических сил при переносе заряда по некоторому пути, равна минус компоненте электрической силы в направлении движения, проинтегрирован­ной по этому пути. Если заряд переносится от точки а к точке b, то

Фиг. 4.2. Работа переноса заряда от а к b равна минус интегралу от F•ds no выбранному пути.

где F — электрическая сила, действующая на заряд в каждой точке, a ds — дифференциал вектора перемещения вдоль траек­тории (фиг. 4.2).

Для наших целей интереснее рассмотреть работу переноса единицы заряда. Тогда сила, действующая на такой заряд, численно совпадает с электрическим полем. Обозначая в этом случае работу против действия электрических сил буквой W_един , напишем

(4.19)

Вообще говоря, то, что получается при интегрированиях такого сорта, зависит от выбранного пути интегрирования. Но если бы интеграл в (4.19) зависел от пути, мы бы могли извлечь из поля работу, поднеся заряд к b по одному пути и унеся обратно к а по другому. Можно было бы подойти к b по тому пути, где W меньше, а удалиться по тому пути, где оно больше, получив работы больше, чем было вложено,

В принципе нет ничего невозможного в том, чтобы получать работу из поля. Мы еще познакомимся с полями, в которых это возможно. Может оказаться, что, двигая заряды, вы действуете на остальную часть всего «механизма» с какой-то силой. Если «механизм» сам движется против этой силы, он будет терять энергию, и полная энергия будет тем самым оставаться постоян­ной. В электростатике, однако, никакого «механизма» нет. Мы знаем, каковы те силы отдачи, которые действуют на источ­ники поля. Это кулоновские силы, действующие на заряды, ответственные за создание поля. Если положения всех прочих зарядов зафиксированы (а это допущение делается в одной только электростатике), то силы отдачи на них не смогут дей­ствовать. И тогда нет способа извлечь из них энергию, разу­меется, при условии, что принцип сохранения энергии в элект­ростатике справедлив. Мы, конечно, верим, что это так, однако попробуем все же показать, как это следует из закона силы Кулона.

Посмотрим сначала, что происходит в поле, созданном еди­ничным зарядом q. Пусть точка а удалена от q на расстояние r₁, а точка b — на расстоя­ние r₂.

Фиг. 4.3. При переносе проб­ного заряда от а к b по любому пути тратится одна и та же работа.

Перенесем теперь другой заряд, называемый «пробным» и равный еди­нице, от а до b. Изберем сперва самый легкий для расчета путь. Перенесем наш пробный заряд снача­ла по дуге круга, а после no радиусу (фиг. 4.3, а).

Рассчитать работу переноса по такому пути - детская забава (а иначе бы мы его и не выбрали). Во-первых, на участке aa' работа не производится. Поле по закону Кулона радиально, т. е. направлено поперек направления движения. Во-вторых, на участке a'b поле меняется как 1/r² и направлено по движению. Так что работа переноса пробного заряда от а к b равна

Выберем теперь другой легкий путь, скажем тот, который изображен на фиг. 4.3, б. Он идет попеременно то по дуге ок­ружности, то по радиусу. Каждый раз, когда путь пролегает по дуге, никакой работы не затрачивается. Каждый раз, когда путь идет по радиусу, интегрируется 1/r². По первому радиаль­ному участку интеграл берется от r_a до r_a’., по следующему — от r_а. до r_а" и т. д. Сумма всех таких интегралов как раз равна одному интегралу, но в пределах от r_а до r_b . В общем получится тот же ответ, что и в первом испробованном нами пути. Ясно, что и для любого пути, составленного из произвольного числа участков такого вида, получится тот же результат.

Ну а как насчет плавных траекторий? Получим ли мы тот же ответ? Этот вопрос мы обсудили в вып. 1, гл. 13. Пользуясь теми же доводами, что и тогда, мы можем заключить, что работа переноса единичного заряда от а до b от пути не зависит:

Фиг. 4.4. Работа, затрачен­ная на движение вдоль любого пути от а до b, равна минус работе от некоторой точки Р₀ до а плюс работа от Р₀ до b.

А раз выполняемая работа зависит только от концов пути, то она может быть представлена в виде разности двух чисел. В этом можно убедиться следующим образом. Выберем отправ­ную точку Р₀ и договоримся оценивать наш интеграл, пользуясь только теми траекториями, которые проходят через точку Р₀ . Обозначим работу, выполненную при движении против поля от Р₀ до точки а, через j(а), а работу на участке от Р₀ до точки b — через j(b) (фиг. 4.4). Работа перехода от а к Р₀ (по дороге к b) равна j (a) с минусом, так что

(4.21)

Так как повсюду будет встречаться только разность значе­ний функции j в двух точках, то положение точки Р₀ в сущности безразлично. Однако как только отправная точка выбрана, число j тем самым определяется в любой точке пространства; значит, j является скалярным полем, функцией от х, у, z. Эту скалярную функцию мы называем электростатическим потен­циалом в произвольной точке.

Электростатический потенциал

(4.22)

Часто очень удобно брать отправную точку на бесконеч­ности. Тогда потенциал jодиночного заряда в начале коорди­нат, взятый в произвольной точке (х, у, z), равен [см. уравнение (4.20)]

(4.23)

Электрическое поле нескольких зарядов можно записать в виде суммы электрических полей от первого заряда, от вто­рого, от третьего и т. д. Интегрируя сумму для того, чтобы определить потенциал, мы придем к сумме интегралов. Каждый из них — это потенциал соответствующего заряда. Значит, по­тенциал j множества зарядов есть сумма потенциалов каждого из зарядов по отдельности. Таким образом, и для потенциалов существует принцип наложения. Пользуясь такими же аргу­ментами, как и тогда, когда мы искали электрическое поле группы зарядов или распределения зарядов, мы можем полу­чить окончательные формулы для потенциала j в точке, обозна­ченной как (1):

(4.24)

(4.25)

Не забывайте, что потенциал j имеет физический смысл: это потенциальная энергия, которую имел бы единичный заряд, если его перенести в указанную точку пространства из неко­торой отправной точки.

§4. E = -Ñj

С какой стати нас заинтересовал потенциал j? Силы, дейст­вующие на заряды, даются величиной Е — электрическим полем. Вся соль в том, что Е из j очень легко получить, не труд­нее, чем вычислить производную. Рассмотрим две точки с одина­ковыми у и z, но с разными х: у одной х, у другой x+Dx;; поинте­ресуемся, какую работу надо совершить, чтобы перенести еди­ничный заряд из одной точки в другую. Путь переноса — го­ризонтальная линия от х до х+Dх. Работа равна разности по­тенциалов в двух точках

Но работа против действия силы на том же отрезке равна

Мы видим, что

(4.26)

Равным образом, Е_у=-дj/ду, E_z=-dj/dz; все это в обозна­чениях векторного анализа можно подытожить так:

4.27)

Это дифференциальная форма уравнения (4.22). Любую задачу, в которой заряды заданы, можно решить, вычислив по (4.24) или (4.25) потенциал и рассчитав по (4.27) поле. Уравнение (4.27) согласуется также с тем, что получается в векторном ана­лизе: с тем, что для любого скалярного поля

(4.28)

Согласно уравнению (4.25), скалярный потенциал j пред­ставляется трехмерным интегралом, подобным тому, кото­рый мы писали для Е. Есть ли какая выгода в том, что вместо Е вычисляется j? Да. Для вычисления j нужно взять один ин­теграл, а для вычисления Е—три (ведь это вектор). Кроме того, обычно 1/r интегрировать легче, чем x/r³. Во многих прак­тических случаях оказывается, что для получения электриче­ского поля легче сперва подсчитать j, а после взять градиент, чем вычислять три интеграла для Е. Это просто вопрос удобства.

Но потенциал j имеет и глубокий физический смысл. Мы показали, что Е закона Кулона получается из Е=-gradj, где j дается уравнением (4.22). Но если Е—это градиент скаляр­ного поля, то, как известно из векторного исчисления, ротор Е должен обратиться в нуль:

(4.29)

Но это и есть наше второе основное уравнение электростатики — уравнение (4.6). Таким образом, мы показали, что закон Кулона дает поле Е, удовлетворяющее этому условию. Так что до сих пор все в порядке.

На самом деле то, что ÑXЕ равно нулю, было доказано еще до того, как мы определили потенциал. Мы показали, что ра­бота обхода по замкнутому пути равна нулю, т. е. по любому пути.

Мы видели в гл. 3, что в таком поле ÑXЕ должно быть всюду равно нулю. Электрическое поле электро­статики — это поле без роторов.

Вы можете потренироваться в векторном исчислении, дока­зав равенство нулю вектора ÑXЕ другим способом, т. е. вычис­лив компоненты вектора ÑXЕ для поля точечного заряда по формулам (4.11). Если получится нуль, то принцип наложения обеспечит нам обращение ÑXЕ в нуль для любого распределе­ния зарядов.

Следует подчеркнуть важный факт. Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует по­тенциал. Если вы вдумаетесь в это, то увидите, что все наши доказательства того, что интеграл работы не зависит от пути, сами определялись только тем, что сила от отдельного заряда была радиальна и сферически симметрична. То, что зависимость силы от расстояния имела вид 1/r², не имело никакого значе­ния, при любой зависимости от r получилось бы то же самое. Существование потенциала и обращение в нуль ротора Е выте­кают на самом деле только из симметрии и направленности электростатических сил. По этой причине уравнение (4.28) или (4.29) может содержать в себе только часть законов элект­ричества.

§ 5. Поток поля Е

Теперь мы хотим вывести уравнение, которое непосредст­венно и в лоб учитывает тот факт, что закон силы — это закон обратных квадратов. Кое-кому кажется «вполне естественным», что поле меняется обратно пропорционально квадрату расстоя­ния, потому что «именно так, мол, все распространяется». Возьмите световой источник, из которого льется поток света; количество света, проходящее через основание конуса с верши­ной в источнике, одно и то же независимо от того, насколько основание удалено от вершины. Это с необходимостью следует из сохранения световой энергии. Количество света на еди­ницу площади — интенсивность — должно быть обратно про­порционально площади, вырезанной конусом, т. е. квадрату расстояния от источника. Ясно, что по той же причине и элект­рическое поле должно изменяться обратно квадрату расстояния!

Но здесь ведь нет ничего похожего на «ту же причину». Ведь никто не может сказать, что электрическое поле есть мера чего-то такого, что похоже на свет и что поэтому должно сохра­няться. Если бы у нас была такая «модель» электрического поля, в которой вектор поля представлял бы направление и скорость (ну, например, был бы током) каких-то вылетающих маленьких «дробинок», и если бы эта модель требовала, чтобы число дро­бинок сохранялось и ни одна не могла пропасть после вылета из заряда, вот тогда мы могли бы говорить, что «чувствуем» неизбежность закона обратных квадратов. С другой стороны, непременно должен был бы существовать математический способ выражения этой физической идеи. Если бы электрическое поле было подобно сохраняющимся дробинкам, то оно меня­лось бы обратно пропорционально квадрату расстояния и мы могли бы описать такое поведение некоторым уравнением, т. е. чисто математическим путем. Если мы не утверждаем, что элект­рическое поле сделано из дробинок, а понимаем, что это просто модель, помогающая нам прийти к правильной математической теории, то ничего плохого в таком способе рассуждений нет.

Предположим, что мы на мгновение представили себе элект­рическое поле в виде потока чего-то сохраняющегося и текущего повсюду, за исключением того места, где расположен сам заряд (должен же этот поток откуда-то начинаться!).

Фиг. 4.5. Поток E из поверхности S равен нулю.

Представим что-то (что именно — неважно), вытекающее из заряда в окружающее пространство. Если бы Е было вектором такого потока (как h — вектор теплового потока), то вблизи от точечного источника оно обладало бы зависимостью 1/r². Теперь мы желаем исполь­зовать эту модель для того, чтобы глубже сформулировать закон обратных квадратов, а не просто говорить об «обратных квадратах». (Вам может показаться удивительным, почему вместо того, чтобы сходу, прямо и открыто сформулировать столь прос­той закон, мы хотим трусливо протащить то же самое, но с зад­него хода. Немного терпения! Это окажется небесполезным.) Спросим себя: чему равно «вытекание» Е из произвольной замкнутой поверхности в окрестности точечного заряда? Для начала возьмем простенькую поверхность — такую, как пока­зано на фиг. 4.5. Если поле Е похоже на поток, то суммарное вытекание из этого ящика должно быть равно нулю. Это и полу­чается, если под «вытеканием» из этой поверхности мы понимаем поверхностный интеграл от нормальной составляющей Е, т. е. поток Е в том смысле, который был установлен в гл. 3. На бо­ковых гранях нормальная составляющая Е равна нулю. На сферических гранях нормальная составляющая Е равна самой величине Е, с минусом на меньшей грани и с плюсом на большей. Величина Е убывает как 1/r², а площадь грани растет как r², так что их произведение от r не зависит. Приток Е через грань а в точности гасится оттоком через грань b. Суммарный поток через S равен нулю, а это все равно, что сказать, что

(4.30)

на этой поверхности.

Теперь покажем, что две «торцевые» поверхности могут быть без ущерба для величины интеграла (4.30) перекошены отно­сительно радиуса. Хотя это верно всегда, но для наших целей

Фиг. 4.6. Поток Е из поверхности S равен нулю.

достаточно только показать, что это справедливо тогда, когда «торцы» малы и стягивают малый угол с вершиной в источнике, т. е. в действительности бесконечно малый угол. На фиг. 4.6 показана поверхность S, «боковые грани» которой радиальны, а «торцы» перекошены. На рисунке они не малы, но надо пред­ставить себе, что на самом деле они очень малы. Тогда поле Е над поверхностью будет достаточно однородным, так что можно взять его значение в центре. Если торец наклонен на угол q, то его площадь возрастает в 1/cosq раз, а Е_n — компонента Е, нормальная к поверхности торца, убывает в cosq раз, так что произведение Е_nDа не меняется. Поток из всей поверхности S по-прежнему равен нулю.

Теперь уже легко разглядеть, что и поток из объема, окру­женного произвольной поверхностью S, обязан быть равным ну­лю. Ведь любой объем можно представить себе составленным из таких частей, как на фиг. 4.6. Вся поверхность раз­делится на пары торцевых участков, а поскольку потоки через каждую из них внутрь и наружу объема попарно уничтожаются, то и суммарный поток через поверхность обратится в нуль. Идея эта иллюстрируется фиг. 4.7. Мы получаем совершенно общий результат: суммарный поток Е через любую поверхность S в поле точечного заряда равен нулю.

Фиг. 4.7. Всякий объем можно представлять себе состоящим из бесконечно ма­лых усеченных конусов.

Поток E сквозь один конец каж­дого конического сегмента равен и противоположен потоку сквозь другой конец. Общий поток из поверхности S поэтому равен пулю.

Фиг. 4.8. Если заряд нахо­дится внутри поверхности, поток наружу не равен нулю.

Будьте, однако, внимательны! Наше доказательство рабо­тает только тогда, когда поверхность S не окружает заряд. А что случилось бы, если бы точечный заряд оказался внутри поверхности? Как и раньше, поверхность можно было бы разде­лить на пары площадок, связанные радиальными прямыми, про­ходящими через заряд (фиг. 4.8). Потоки через эти участки по той же причине, что и раньте, по-прежнему попарно равны, но только теперь их знаки одинаковы. Поток из поверхности, окружающей заряд, не равен нулю. Тогда чему же он равен? Это можно определить с помощью фокуса. Допустим, что мы «убрали» заряд «изнутри», окружив его маленькой поверхно­стью S' так, чтобы она лежала целиком внутри первоначальной поверхности 5 (фиг. 4.9). Теперь в объеме, заключенном между двумя поверхностями S и S', никакого заряда нет. Общий по­ток из этого объема (включая поток через S') равен нулю, в чем можно убедиться при помощи прежних аргументов. Они говорят нам, что поток через S' внутрь объема такой же, как поток через S наружу.

Для S' мы можем выбрать любую, какую угодно форму, поэтому давайте сделаем ее сферой с зарядом в центре (фиг. 4.10). Тогда поток через нее подсчитать легко. Если радиус малой сферы равен r, то значение Е повсюду на ее поверхности равно

и направлено всегда по нормали к поверхности. Весь поток

Фиг. 4.9. Поток через S равен потоку через S'.

Фиг. 4.10. Поток через сфериче­скую поверхность, охватывающую точечный заряд q, равен qle₀.

через S' получится, если эту нормальную составляющую Е умножить на площадь поверхности:

Поток через поверхность

т. е. равен числу, не зависящему от радиуса сферы! Значит, и поток наружу через S тоже равен q/e₀; это значение не зависит от формы S до тех пор, пока заряд q находится внутри. Наши выводы мы можем записать так:

(4.32)

Давайте вернемся к нашей аналогии с «дробинками» и по­смотрим, есть ли в ней смысл. Наша теорема утверждает, что суммарный поток дробинок через поверхность равен нулю, если поверхность не окружает собой ружье, стреляющее дробью. А если ружье окружено поверхностью, то какого бы размера или формы она ни была, количество проходящих через нее дро­бинок всегда одно и то же — оно дается скоростью, с которой дробинки вылетают из ружья. Все это выглядит вполне разумно для сохраняющихся дробинок. Но сообщает ли эта модель нам хоть что-то сверх того, что получается просто из уравнения (4.32)? Никому не удалось добиться того, чтобы «дробинки» произвели на свет что-нибудь сверх этого закона. Кроме него, они порождают только ошибки. Поэтому-то мы сегодня предпо­читаем чисто абстрактное представление об электромагнитном поле.

§ 6. Закон Гаусса; дивергенция поля Е

Наш изящный результат — уравнение (4.32) — был дока­зан для отдельного точечного заряда. А теперь допустим, что имеются два заряда: заряд q_l—в одной точке и заряд (q₂ — в другой. Задача выглядит уже потруднее. Теперь электрическое поле, нормальную составляющую которого мы интегрируем, это уже поле, созданное обоими зарядами. Иначе говоря, если e₁—то электрическое поле, которое создал бы один только заряд q₁ ,a E₂ — электрическое поле, создаваемое одним зарядом q₂, то суммарное электрическое поле равно Е=Е₁ + Е₂. Поток через произвольную замкнутую поверхность S равен

(4.33)

Поток при наличии двух зарядов — это поток, вызванный од­ним зарядом, плюс поток, вызванный другим. Если оба находятся снаружи S, то поток сквозь S равен нулю. Если q_l нахо­дится внутри S, a q₂ — снаружи, то первый интеграл даст q₁/e₀, а второй — нуль. Если поверхность окружает оба заряда, то каждый внесет вклад в интеграл и поток окажется равным (q₁+q₂)/e₀. Общее правило очевидно: суммарный поток из замк­нутой поверхности равен суммарному заряду внутри нее, де­ленному на e₀.

Этот результат представляет собой важный общий закон электростатического поля, и называется он теоремой Гаусса,

Закон Гаусса:

(4.34)

или

(4.35)

где

(4.36)

Из нашего вывода видно, что закон Гаусса вытекает из того факта, что показатель степени в законе Кулона в точности равен двум. Поле с законом 1/r³, да и любое поле 1/rⁿ с n¹2, не привело бы к закону Гаусса. Значит, закон Гаусса как раз выражает (только в другой форме) закон сил Кулона, дей­ствующих между двумя зарядами. Действительно, отправляясь от закона Гаусса, можно вывести закон Кулона. Оба они со­вершенно равноценны до того момента, пока силы между заря­дами действуют радиально.

Теперь мы хотим записать закон Гаусса на языке произ­водных. Чтобы это сделать, применим его к поверхности бес­конечно малого куба. В гл. 3 мы показали, что поток Е из такого куба равен дивергенции Ñ•Е, помноженной на объем dV куба. Заряд внутри dV по определению r равен rdV, так что закон Гаусса дает

или

(4.38)

Дифференциальная форма закона Гаусса — это первое из наших фундаментальных уравнений поля в электростатике, уравнение (4.5). Мы теперь показали, что два уравнения электростатики (4.5) и (4.6) эквивалентны закону силы Кулона. Разберем один пример применения закона Гаусса (другие примеры будут рас­смотрены позже).

§ 7. Поле заряженного шара

Одной из самых трудных задач, которую пришлось нам ре­шать, когда мы изучали теорию гравитационного притяжения, было доказать, что сила, создаваемая твердым шаром на его поверхности, такая же, как если бы все вещество шара было сконцентрировано в его центре. Много лет Ньютон не решался обнародовать свою теорию тяготения, так как не был уверен в правильности этой теоремы. Мы доказали ее в вып. 1, гл. 13, взяв интеграл для потенциала и вычислив силу тяготения по градиенту. Теперь эту теорему мы можем доказать очень просто. Но на этот раз мы докажем не совсем ее, а сходную теорему для однородно заряженного электричеством шара. (Поскольку за­коны электростатики и тяготения совпадают, то то же доказа­тельство может быть проведено и для поля тяготения.)

Зададим вопрос: каково электрическое поле Е в точке Р где-то снаружи сферы, наполненной однородно распределенным зарядом? Так как здесь нет «выделенного» направления, то закон­но допустить, что Е всюду направлено прямо от центра сферы. Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность, концент­рическую со сферой зарядов и проходящую через точку Р (фиг. 4.11). Для этой сферы поток наружу равен

Фиг. 4.11. Применение закона Гаусса для определения поля одно­родно заряженного шара.

1 — распределение заряда r; 2 — гаус­сово поверхность S.

Закон Гаусса утверждает, что этот поток равен суммарному за­ряду сферы Q (деленному на e₀):

или

(4.39)

а это как раз та формула, которая получилась бы для точеч­ного заряда Q. Мы решили проблему Ньютона проще, без ин­теграла. Конечно, это кажущаяся простота; вам пришлось зат­ратить какое-то время на то, чтобы разобраться в законе Гаус­са, и вы можете думать, что на самом деле время нисколько не сэкономлено. Но когда вам придется часто применять эту тео­рему, то она практически окупится. Все дело в привычке.

§ 8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности

Теперь мы собираемся дать геометрическое описание электро­статического поля. Два закона электростатики: один — о пропор­циональности потока и внутреннего заряда и другой — о том, что электрическое поле есть градиент потенциала, могут также быть изображены геометрически. Мы проиллюстрируем это дву­мя примерами.

Первый пример: возьмем поле точечного заряда. Проведем линии в направлении поля, которые повсюду касательны к век­торам поля (фиг. 4.12). Их называют линиями поля. Линии поля всюду показывают направление электрического вектора. Но, кроме этого, мы хотим изобразить и абсолютную величину векто­ра. Можно ввести такое правило: пусть напряженность электри­ческого поля представляется «плотностью» линий. Под этим мы подразумеваем число линий на единицу площади, перпенди­кулярной линиям. С помощью этих двух правил мы можем на­чертить картину электрического поля. Для точечного заряда плотность линий должна убывать как 1/r². Но площадь сфери­ческой поверхности, перпендикулярной к линиям на всех радиу­сах r, возрастает как r², так что если мы сохраним всюду, на всех расстояниях от центра, одно и то же число линий, то их плот­ность останется пропорциональной величине поля.

Фиг. 4.12. Линии поля и эквипотенциальные поверхности для положительного точечного заряда.

Фиг. 4.13. Линии поля и эквипотенциальные поверхности для двух равных, но »разноименных точечных зарядов.

Мы можем гарантировать неизменность числа линий на всех расстояниях, если обеспечим непрерывность линий, т. е. если уж линия вышла из заряда, то она никогда не кончится. На языке линий поля за­кон Гаусса утверждает, что линии могут начинаться только в плюс-зарядах и кончаться только в минус-зарядах. А число линий, покидающих заряд q, должно быть равно q/e₀.

Сходную геометрическую картину можно отыскать и для потенциала j. Проще всего изображать его, рисуя поверхности, на которых j постоянно. Их называют эквипотенциальными, т. е. поверхностями одинакового потенциала. Какова геомет­рическая связь эквипотенциальных поверхностей и линий поля? Электрическое поле является градиентом потенциала. Градиент направлен по самому быстрому изменению потенциала, поэтому он перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности. Если бы Е не было перпендикулярно к поверхности, у него су­ществовала бы составляющая вдоль поверхности и потенциал изменялся бы вдоль поверхности и тогда нельзя было бы считать ее эквипотенциальной. Эквипотенциальные поверхности долж­ны поэтому непременно всюду проходить поперек линий элект­рического поля.

У отдельно взятого точечного заряда эквипотенциальные поверхности — это сферы с зарядом в центре. На фиг. 4.12 показано пересечение этих сфер с плоскостью, проведенной че­рез заряд.

В качестве второго примера рассмотрим поле близ двух одинаковых зарядов, одного положительного, а другого отри­цательного. Это поле получить легко. Это суперпозиция (нало­жение) полей каждого из зарядов. Значит, мы можем взять две картинки, похожие на фиг. 4.12, и наложить их... нет, это невозможно! Тогда получились бы пересекающиеся линии поля, а этого быть не может, потому что Е не может иметь в одной точке двух направлений. Неудобство картины линий поля теперь становится очевидным. С помощью геометрических рассуждений невозможно в простой форме проанализировать, куда пойдут новые линии. Из двух независимых картин нельзя получить их сочетание. Принцип наложения, столь простой и глубокий прин­цип теории электрических полей, в картине полевых линий не имеет простого соответствия.

Картина полевых линий все же имеет свою область приме­нимости, так что мы можем все же захотеть начертить эту кар­тину для пары равных (и противоположных) зарядов. Если мы вычислим поля из уравнения (4.13), а потенциалы из (4.23), то сумеем начертить и линии поля и эквипотенциалы.

Фиг. 4.13 демонстрирует этот результат. Но сперва пришлось решить за­дачу аналитически!